Determinar todas las $x$ que satisface $\sqrt{3-x} - \sqrt{x+1} > \frac{1}{2}$

Question

Tengo una ecuación que tengo que resolver:

Determinar todas las $x$ que satisface $\sqrt{3-x} - \sqrt{x+1} > \frac{1}{2}$

¿Quizás implique medios? Las raíces cuadradas se inclinan hacia ello... ¿Podría alguien ayudarme?

Answer 1

La desigualdad viene dada por $$\sqrt{(3-x)}>1/2+\sqrt{x+1}$$ y tenemos $$-1\le x\le 3$$ después de elevar al cuadrado obtenemos $$\frac{7}{4}-2x>\sqrt{x+1}$$ Ahora debe ser $$\frac{7}{8}>x\geq -1$$ cuadrando de nuevo tenemos $$x^2-2x+\frac{33}{64}>0$$ ¿Se puede proceder? resolviendo la última desigualdad obtenemos $$-1\le x<\frac{1}{8}(8-\sqrt{31})$$

Answer 2

Tenga en cuenta que

• $\sqrt{3-x}$ se define sólo para $x\le3$
• $\sqrt{x+1}$ se define sólo para $x\ge-1$
• La primera raíz cuadrada es estrictamente decreciente y la segunda estrictamente creciente, por lo que todo el LHS debe ser estrictamente decreciente (para ver por qué, grafique las funciones)

Por lo tanto, queda por resolver para $x$ en caso de igualdad, y tomar el intervalo como $[-1,x)$ . $$\sqrt{3-x}-\sqrt{x+1}=\frac12$$ $$\sqrt{3-x}=\frac12+\sqrt{x+1}$$ $$3-x=\frac14+\sqrt{x+1}+x+1$$ $$\frac74-2x=\sqrt{x+1}$$ $$\frac{49}{16}-7x+4x^2=x+1$$ $$4x^2-8x+\frac{33}{16}=0$$ $$x=1\pm\frac{\sqrt{31}}8$$ Comprobando, vemos que el signo negativo debe usarse para $x$ ya que sólo eso produce una igualdad. Por lo tanto, el rango de $x$ es $[-1,1-\frac{\sqrt{31}}8)$ .

Answer 3

En más detalle que probablemente necesitará.

Para $\sqrt{3 - x}$ para existir en los reales debe ser $3 - x \ge 0$ así que $x \le 3$ . Para $\sqrt{x+1}$ para existir en los reales debe ser $x + 1 \ge 0$ así que $x \ge -1$ . Así que $-1 \le x \le 3$ . Estos son los únicos valores en los que el término $\sqrt{3 - x} - \sqrt{x+1}$ puede tener algún sentido.

$\sqrt{3-x} - \sqrt{x+1} > 1/2$

Queremos eliminar las raíces cuadradas. Para ello tendremos que elevarlas al cuadrado.

Hay tres cosas en las que tenemos que pensar cuando cuadramos los lados.

i) $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ tiene tres términos y el término medio todavía implica $a$ y $b$ Así que $(\sqrt a + \sqrt b)^2 = a + 2\sqrt a \sqrt b + b$ seguirá teniendo las raíces combinadas. Así que probablemente queramos aislar las raíces a cada lado de la desigualdad. Si $\sqrt a + \sqrt b = c$ entonces $\sqrt a = c - \sqrt b$ así que $\sqrt a ^2 = (c - \sqrt b)^2$ así que $a = c^2 - 2c\sqrt b + b$ . Todavía tenemos una raíz cuadrada, pero sólo una. Así que hemos progresado.

ii) Debemos preocuparnos por la señalización. Si $a > b >0$ que $a^2 > b^2$ . Pero si $ 0 > a > b$ entonces lo contrario es cierto. Debemos "invertir" el signo de la desigualdad. Si $0 > a > b$ entonces $a^2 < b^2$ . Si $a > 0 > b$ entonces no sabemos si $a^2 > b^2$ o $a^2 = b^2$ o $a^2 < b^2$ . Cualquiera de ellos puede ser cierto.

iii) Tenemos que ser conscientes de las "soluciones extrañas". Si tenemos $x > \sqrt{ x - 5}$ sabemos $x$ es positivo. Si elevamos al cuadrado para obtener $x^2 > x - 5$ ahora tenemos Añadido: la posibilidad extraña de que $x$ puede ser negativo. Pero sabemos que no lo es. Debemos tenerlo en cuenta.

Así que hagamos esto:

$\sqrt{3 -x} - \sqrt{x+1} > 1/2$

Movamos uno de los radicales al otro lado:

$\sqrt{3 - x} > 1/2 + \sqrt{x+1}$

Sabemos que $1 > 0$ y $\sqrt{x+1} \ge0$ por lo que si elevamos al cuadrado ambos lados serán positivos y los signos de desigualdad se quedarán como están.

$\sqrt{x- 3}^2 > (1/2 + \sqrt{x + 1})^2$

$3 - x > 1/4 + \sqrt{x + 1} + x + 1 = x + 1 1/4 + \sqrt{x+1}$ .

Nota: acabamos de añadir la posibilidad extraña de que $x > 3$ o $x < -1$ . Pero ya hemos hecho notar que eso será imposible.

Todavía tenemos una raíz cuadrada que aislar:

$3 - x > x + 1 1/4 + \sqrt{x+1}$ así que

$7/4 - 2x > \sqrt{x+1}$ ; $ \sqrt{x+1} \ge 0$ para que podamos cuadrar y mantener el " $>$ " sin voltear

$(7/4 - 2x)^2 > \sqrt{x + 1}^2$

$49/16 - 7x + 4x^2 >(x + 1)$

Nota: Al elevar al cuadrado hemos añadido la posibilidad extraña de que $7/4 - 2x$ puede ser negativo. Sabemos que eso no es cierto. Así que debemos tener en cuenta: $7/4 - 2x \ge 0$ así que $7/8 \ge x$ . También sabemos $-1 \le x \le 3$ así que combinando los que conocemos $-1 \le x \le 7/8$ .

Sigamos:

$49/16 - 7x + 4x^2 >(x + 1)$

$33/16 - 8x + 4x^2 >0$

$33/64 - 2x + x^2 >0$

Utiliza la ecuación cuadrática:

$(x - \frac{2 + \sqrt{4 +33/16}}{2})(x - \frac{2 + \sqrt{4 +33/16}}{2}) > 0$

$(x - 1-\frac{\sqrt{33}}{8})(x - 1 + \frac{\sqrt{31}}{8}) > 0$

Tenemos dos términos que se multiplican a un resultado positivo. Así que O BIEN ambos son positivos o ambos son negativos.

Si ambos son positivos tenemos:

$x > 1 + \frac{\sqrt{31}}{8}$

Pero sabemos que $-1 \le x \le 7/8$ así que esto es imposible.

Así que ambos son negativos. Así que lo sabemos:

$x < 1 - \frac{\sqrt{31}}{8} < 1 + \frac{\sqrt{31}}{8}$

$1 - \frac{\sqrt{31}}{8} \approx .304$ así que $-1 < 1 - \frac{\sqrt{7}}{2} < 7/8$

Sabemos que $-1 \le x \le 7/8$ y $x < 1- \frac{\sqrt{31}}{8}$ .

Así que combinando sabemos:

$-1 \le x < 1 - \frac{\sqrt{31}}{8}$ .

Answer 4

Una pista: $\sqrt{3-x} - \sqrt{x+1} - \frac{1}{2}$ es monótona y decreciente en el intervalo definido. Si puedes encontrar su raíz (llámala $x_1$ ), se puede decir que el conjunto de soluciones a su desigualdad es $[-1,x_1)$