¿Cuáles son las preguntas más importantes o de las áreas de estudio en la filosofía de las matemáticas?

Question

Esta pregunta está destinada a complementar Lo que preguntas de matemáticas o áreas tienen implicaciones filosóficas ajenas a las matemáticas?

Answer 1

Aquí está un breve resumen de las principales posiciones en un par de importantes filosofía de la matemática preguntas. Primero una lista de preguntas:

• Estamos creando o descubriendo cuando hacemos matemáticas?
• ¿Cuáles son entidades matemáticas?
• ¿Cómo se puede explicar la irrazonable efectividad de las matemáticas en las ciencias naturales?

Una pronta respuesta a esta pregunta fue Platón la sugerencia de que las entidades matemáticas (triángulos, cuadrados, números...) existen en el mundo de las formas. Así que los números existen realmente, en alguna clase de universo enrarecido que sólo tenemos acceso parcial. La idea de un "cielo Platónico" de los números no es particularmente popular posición más.

Immanuel Kant pensaba que la geometría y la aritmética de alguna manera innata (de hecho, eran condiciones previas a la experiencia del espacio y el paso del tiempo). Es decir, sin tener un a priori de la comprensión del espacio y el número, no seríamos capaces de percibir el mundo que nos rodea como lo hacemos nosotros. Entidades matemáticas, para Kant, eran reales.

Logicismo es una posición que creció fuera de Russell y Whitehead del trabajo en lógica matemática. La idea era que la lógica es de alguna manera universal, y que toda la matemática se construye a partir de estos axiomas básicos, que son uncontroversially, universalmente, absolutamente Cierto. (Con un capital de "T").

El formalismo se inició aproximadamente en la misma época con Hilbert. Aquí la idea es que la matemática es un juego que jugamos, con ciertas reglas (axiomas) establecen un poco arbitrariamente. Este comparte mucho con logicisim, pero es significativamente diferente en su actitud hacia el estado de los axiomas.

El estructuralismo es una mucho más reciente posición (aunque hay ecos de las ideas de Hilbert, Poincaré y otros). La idea aquí es que las matemáticas es acerca de las estructuras. Aprendemos acerca de las estructuras a través de la abstracción de los detalles secundarios para el reconocimiento de patrones. Qué es exactamente estructuras depende de qué tipo de estructuralista de preguntar. Algunos (como Stewart Shapiro) pensar que las estructuras realmente están ahí fuera en el mundo, de alguna manera. Es decir, existen estructuras sobre y por encima de las cosas que satisfacen las relaciones estructurales. Otros (como el de Michael Resnik) pensar que no son tan reales. Resnik la marca del estructuralismo se parece mucho a el nominalismo: el Nominalismo acerca de entidades matemáticas que crece de una forma más general de la posición hacia entidades abstractas.

Como un comentarista dijo anteriormente, la filosofía no se trata de resultados. Creo que la contribución más importante de la filosofía es preguntar a las grandes preguntas, como las de arriba, y a un mapa de la lógica del espacio de posibles respuestas a ellos.

Me he limitado a la filosofía de las matemáticas y evitó deliberadamente filosofía de la lógica, que es su propia cabaña de la industria. También, este resumen refleja mis propios intereses y prejuicios y no debe ser tomado como una síntesis representativa de todos los debates y las posiciones adoptadas en la filosofía de las matemáticas. Un enfoque más equilibrado en resumen se puede encontrar en la excelente Enciclopedia de Filosofía de Stanford artículo por Leon Horsten.

Answer 2

George Lakoff y Rafael Núñez comenzó a estudiar encarnado matemáticas bastante recientemente. La idea es que nuestras ideas de las matemáticas son inseparables de nuestra humanidad en lugar de ser platónico verdades, y todo puede ser entendido en términos de metáforas del mundo real de los conceptos y de nuestro aprendizaje/adquisición de una de estas metáforas. Para tomar un ejemplo sencillo, siempre que agregar números, nuestro cerebro siempre va a ser esencialmente a añadir cosas a una pila, porque eso es lo que además es para nosotros. Si he entendido correctamente.

Sus teorías realmente no ha calado entre los matemáticos, en parte debido a que no son matemáticos en sí, lo que es en verdad una gran debilidad por parte de los filósofos de las matemáticas. En mi opinión, mucho de lo que dicen es realmente tonto (mi cerebro no tiene nada que ver con $\mathbb{R}$ siendo el único de la finalización de $\mathbb{Q}$ así como el más grande de Arquímedes campo), pero hay un núcleo de verdad: no estamos de estudio de matemáticas tomando paso lógico después de que paso lógico, la estudiamos por pensar en las cosas que hemos maneras de comprender. Por ejemplo, vivimos en un espacio tridimensional, y por lo tanto es difícil para el estudio de mayores dimensiones cosas que por lo tanto, no se puede visualizar. Creo que sería útil proyecto filosófico para entender cómo los matemáticos que estudian tales objetos conceptualizar ellos, y cómo que se refiere a nuestra naturaleza humana, pero que, obviamente, requieren una mayor formación matemática.

Otra cuestión importante es el origen de la matemática gusto y belleza. Este es probablemente más importante para los matemáticos que a los de afuera que no tiene mucho de un sentido de la misma. (Sin embargo, yo estoy convencido de que un fresco de la prueba puede ser apreciado por cualquier persona, si se explica bien!) Yo no sé a quién, si alguien, ha escrito sobre esto, pero sin duda existe, y que es digno de estudio.