Demuestre que si $f$ es continua en $[a,b]$ entonces hay una suma de Riemann que es igual a la integral

Question

En concreto, me refiero a una suma de Riemann de $f$ en $[a,b]$ que es igual a $\int_a^b f$ .

Me encontré con esta pregunta en mi examen de análisis, pero no pude responderla. Me pareció un resultado interesante, así que intenté encontrar una prueba cuando volví a casa. Para mi sorpresa, no pude encontrar ninguna. ¿Cómo se puede demostrar esto? Sinceramente, estoy completamente perplejo.

Answer 1

Ten en cuenta que puedes simplificar las otras respuestas dadas. Aplica el teorema del valor medio a $g(t)=\int_a^t f(x) \, dx$ . Entonces existe $c\in (a, b)$ tal que $f(c) = \frac{g(b)-g(a)}{b-a} = \frac{\int_a^b f \, dx}{b-a}$ . Multiplica ambos lados por $b-a$ para conseguir $\int_a^b f=f(c)(b-a)$ y se tiene una suma de Riemann con la partición trivial.

Answer 2

En realidad, esto aparece en una de las pruebas del Teorema Fundamental del Cálculo. La forma en que se demuestra que $F(b) - F(a) = \int_a^b f$ es demostrar que, independientemente de la partición que se elija, siempre hay un "etiquetado" (es decir, una elección de un punto de muestra en cada subintervalo) tal que la suma de Riemann correspondiente es exactamente igual a $F(b) - F(a)$ .

Mi sugerencia para esto es aplicar el Teorema del Valor Medio (a $F$ ) en cada subintervalo. ¿Ayuda esto?

(De hecho en este resultado la continuidad de $f$ se puede debilitar a: $f$ es integrable de Riemann y tiene una antiderivada $F$ . Esta es una sutil ventaja de este enfoque de la FTC. Una declaración equivalente -y ligeramente menos confusa- de esto se puede encontrar en $\S$ 8.3.3 de estas notas . Sin embargo, hay que tener en cuenta que en ese punto de las notas sólo se han introducido las sumas superiores e inferiores, no las sumas de Riemann. Esto hace que el argumento sea ligeramente más complicado y notablemente menos elegante: obtenemos que $F(b)-F(a)$ se encuentra entre todas las sumas inferiores y superiores en lugar de ser en la nariz igual a una suma de Riemann).

Answer 3

$\int_{a}^{b}f(x)dx=\sum_{k=0}^{n-1}\int_{a+k(\frac{b-a}{n})}^{a+(k+1)(\frac{b-a}{n})}f(x)dx$

Por el teorema del valor medio de integración aplicado $n$ -veces (desde $f$ es continua) tenemos que lo anterior es igual a:

$=\sum_{k=0}^{n-1}f(c_{k})\big(\frac{b-a}{n}\big)$

para $c_{k}\in(a+k(\frac{b-a}{n}),a+(k+1)(\frac{b-a}{n}))$ . Esta última expresión es una suma de Riemann.