Cálculo de la expectativa condicional de un movimiento browniano

Question

Dejemos que $B$ ser un BM, $t\in (0,1)$ . Calcular $E(B_t|B_1)$ .

Hay una pista: Si tenemos una secuencia de variables i.i.d. $(X_i)_{i\in \mathbb{N}}$ y el primer momento de $X_1$ existe, entonces para $S_n:=\sum_{i=1}^nX_i$ , este a.s. se mantiene: $E[X_i|S_n] = E[X_j|S_n]$ para todos $1 i, j n.$

Empecé con $B_1 = \sum_{i=1}^nB_{t_i}-B_{t_{i-1}}$ para $0=t_0<t_1<\dots<t_n=1$ .

Así que ahora podemos escribir $E(B_{t_i}-B_{t_{i-1}}|B_1)=E(B_{t_j}-B_{t_{j-1}}|B_1)$ . Si fuera capaz de expresar $E(B_{t_i}|B_1)$ con algunas cantidades conocidas estaría hecho, pero no sé cómo proceder.

¿Es correcta (o útil) la forma en que empecé o hay una forma mejor? En ambos casos, ¿cómo puedo continuar?

Answer 1

Paso 1: Tiempos racionales. Sea $t=p/q$ donde $p,q\in\mathbb N$ . Entonces $E(B_{\frac{p}{q}}|B_1)=pE(B_{\frac{1}{q}}|B_1)$ . También, $B_1=E(B_{\frac{q}{q}}|B_1)=qE(B_{\frac{1}{q}}|B_1)$ . Así, $E(B_{\frac{p}{q}}|B_1)=\frac{p}{q}B_1$ es decir, si $t$ es racional, $E(B_t|B_1)=tB_1$ .

Paso 2: Tiempos arbitrarios. Sea $t_n$ sean números racionales s.t. $t_n\rightarrow t$ . Entonces $$\begin{align} E\left[\left(E(B_{t_n}|B_1)-E(B_t|B_1)\right)^2\right] &= E\left[\left( E(B_{t_n}-B_t|B_1) \right)^2\right]\\ &\le E\left[ E((B_{t_n}-B_t)^2|B_1) \right]\rightarrow 0, \end{align}$$ y en consecuencia tenemos una subsecuencia $E(B_{t_{n_k}}|B_1)$ convergiendo a.s. a $E(B_t|B_1)$ . Esto nos da $E(B_t|B_1)=tB_1$ a.s. para la arbitrariedad $t\in(0,1)$ .