Una urna contiene N bolas. Sea $X$ sea una variable aleatoria que especifique el valor numérico de una bola extraída dos veces por primera vez (con reemplazo). Me gustaría encontrar la siguiente probabilidad: $P(X=k)$ para $ k \in \mathbb{N}$ . ¿Puede ayudarme, por favor? No sé cómo empezar.
¿La probabilidad es la misma cuando $X$ es el valor numérico del sorteo cuando una bola se extrae dos veces por primera vez (con reemplazo)? (esto es lo que realmente estoy buscando).
Pista: Una bola extraída igual a $i$ :
$$P(\text{first ball} = i) = \frac{1}{N}.$$
Esto es válido para cualquier $i \in \{1, \ldots, N\}$ .
Además, como hay sustitución, fíjate que:
$$P(\text{second ball} = i) = \frac{1}{N}.$$
De nuevo, esto es cierto para cualquier $i \in \{1, \ldots, N\}$ .
La sustitución es muy importante ya que:
Entonces, por la independencia:
$$P(\text{first ball} = i ~\text{AND}~ \text{second ball} = i) = \frac{1}{N} \cdot \frac{1}{N} = \frac{1}{N^2}.$$
Si la urna sólo contiene $N=1$ pelota, entonces $P(X=1)=1$ .
Si la urna contiene $N=2$ bolas, entonces qué es $P(X=1)$ ? Afirmo que es $1/2$ , basándose en el siguiente argumento: ¿Cuáles son los posibles resultados del sorteo hasta la primera repetición? Podría ser $11$ , $121$ , $122$ , $211$ , $212$ o $22$ ; la mitad de estos resultados en el número $1$ siendo la primera repetición. Así, $P(X=1)=P(X=2)=1/2$ .
No creo que sea necesario ir más allá (afortunadamente) para que la cabeza se sitúe en una construcción que ilumine el problema. Queremos contar el número de cadenas en un $N$ alfabeto de letras que no tienen ninguna repetición, a partir del tamaño $1$ todo a la medida $N$ . Cada cadena que tiene un valor específico $k$ en él contribuirá al recuento del número total de formas de tener $k$ sea la primera repetición, y después de dividir por el número total tendremos nuestra probabilidad, ya que todo es uniformemente aleatorio.
Entonces, ¿cuántas cadenas hay de longitud $1$ en un $N$ alfabeto de letras que evitan la repetición? Hay $N$ de ellos. ¿Qué tal la longitud $2$ ? Hay $N(N-1)$ de ellos. De hecho, el número de tales cadenas de longitud $L$ es $N!/(N-L)!$ Así que el número total de cadenas es $\sum_L N!/(N-L)!$ .
¿Cuántas de estas cadenas contienen el número $k$ ? ... Espera un segundo, el número $k$ ¡no importa! Sea cual sea el resultado de este recuento para $1$ debe ser el mismo que el recuento de $2$ y el recuento de $3$ y así sucesivamente. Pero entonces, ¿qué podemos ver? ¡Todos los números tienen la misma probabilidad de ser la primera repetición!
Así, para una urna con $N$ bolas en él, $P(X=k)=1/N$ .
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