Cálculo de las tasas de convergencia en un sistema dinámico determinista

Question

Digamos que existe una población de masa 1 en la que los individuos pueden elegir uno de dos rasgos (1 y 2). La parte de la población con el rasgo 1 en el momento $t+1$ , $$p_{t+1}=\frac{1}{1+e^{-\beta\left(u_1-u_2+J(2p_t-1)\right)}}$$ para las constantes $u_1,u_2,\beta,J$ con $u_1>u_2$ . No puedo calcularlos analíticamente, pero se puede demostrar que para $\beta J>1$ hay como máximo tres puntos estacionarios (de los cuales el más pequeño y el más grande son estables) y al menos un punto estacionario (que estará en la vecindad de $p^*\approx 1$ ).

Supongamos que $p_{t=0}=0$ . Consideremos dos casos definidos por dos conjuntos de parámetros $u_1,u_2,\beta,J$ tal que en cada uno de ellos hay un único punto estacionario $p^*\approx 1$ . ¿Cómo puedo calcular qué sistema alcanzará su punto estacionario más rápidamente? En general, me gustaría saber cómo calcular las tasas de convergencia de forma analítica, si es posible, pero si no, con saber cómo comparar dos sistemas convergentes y calcular el más rápido sería suficiente.

Por ejemplo, mi corazonada es que una mayor $J$ ralentiza el sistema. Para un determinado $\beta,u_1,u_2$ si tomamos dos entornos con $J_1$ y $J_2$ respectivamente, donde existe un punto estacionario, entonces la curva de la función con menor $J$ se "envuelve" más estrechamente alrededor de la línea $p=p$ que debería dar lugar a más pasos de transición. (No sé cómo explicarlo mejor, pero espero que entiendas lo que quiero decir).

Incluso el simple hecho de saber qué términos buscar sería de gran ayuda. He intentado buscar bibliografía sobre las tasas de convergencia, pero dada la expresión de transición implícita, no estoy seguro de si mi caso es aplicable a (por ejemplo) la teoría de las cadenas de Markov, etc. Como se puede ver, este no es mi ámbito :) Se agradecería cualquier término de búsqueda.

(Posdata: En última instancia estoy investigando un sistema de tres rasgos, pero pensé que esto sería un buen comienzo para obtener las herramientas para resolverlo. Sin embargo, si su respuesta también se generaliza, ¡mejor!)

Answer 1

Dejemos que $f$ sea su mapa, es decir: $$f(p) := \frac{1}{1+e^{-\beta\left(u_1-u_2+J(2p-1)\right)}}.$$

Supongamos que su estado $p$ está cerca del punto fijo $p^*$ , es decir, es $p := p^*+ε$ . Entonces se puede estimar la rapidez con la que se reduce la distancia al punto fijo mediante la siguiente cantidad:

$$ Λ := \left | \frac{f(p) - p^*}{p-p^*}\right | = \left | \frac{f(p^*+ε) - f(p^*)}{ε}\right | ≈ \left | f'(p^*) \right |. $$

Con más iteraciones, la distancia se comporta como $ε Λ^t$ (donde $t$ es el número de iteraciones). La cantidad $λ := \ln(Λ)$ también se conoce como el local Exponente de Lyapunov en el punto $p^*$ . Para más detalles sobre el comportamiento exponencial, véase pregunta .

Por lo tanto, para comparar los comportamientos de convergencia cerca de los puntos fijos, basta con echar un vistazo a la derivada de su mapa. Para los sistemas multidimensionales, las cosas son un poco más complicadas: Hay múltiples exponentes de Lyapunov y el que necesitas es el mayor, que a su vez puedes obtener a partir de los valores propios del jacobiano de $f$ .