Tenemos $$ y(x) = y(x-1) - \tfrac12 x. \tag1$$ Puedes sustituirlo por $x-1$ para $x$ y debe seguir siendo cierto: $$ y(x-1) = y(x-2) - \tfrac12(x-1). \tag2$$ Utilizar la ecuación $(2)$ para sustituir en la ecuación $(1)$ : $$ y(x) = y(x-2) - \tfrac12(x-1) - \tfrac12 x.$$
Si elegimos $x$ un número entero positivo, podemos repetir este proceso tantas veces como sea necesario para "desenrollar" la recursión:
\begin{align} y(x) &= y(x-1) - \tfrac12 x \\ &= y(x-2) - \tfrac12(x-1) - \tfrac12 x \\ &= y(x-3) - \tfrac12(x-2) - \tfrac12(x-1) - \tfrac12 x \\ &\vdots\\ &= y(0) - \tfrac12(1) - \tfrac12(2) - \cdots - \tfrac12(x-2) - \tfrac12(x-1) - \tfrac12 x \\ &= y(0) - \tfrac12 \sum_{t = 1}^x t. \end{align}
Ahora utiliza el hecho de que $\sum_{t = 1}^x t = \frac{(x+1)x}{2},$ y tenemos que $$y(x) = y(0) - \tfrac14 x^2 - \tfrac14 x.$$
Se trata de un polinomio, de hecho un polinomio cuadrático, pero no un polinomio cuadrático de la forma $ax^2.$ Por eso no se obtiene una solución cuando se asume que la solución tiene que ser $ax^2.$ No hay valor de $a$ que compensará la falta de $\frac14 x$ plazo.
Nótese que la derivación anterior supone que $x$ es un número entero positivo, por lo que si queremos que la ecuación sea cierta para todos los reales $x$ todavía tenemos que mostrarlo. Pero ahora que tenemos una fórmula, podemos probarla para cualquier $x$ :
\begin{align} y(x) - y(x - 1) &= \left(y(0) - \tfrac14 x^2 - \tfrac14 x \right) - \left(y(0) - \tfrac14 (x-1)^2 - \tfrac14 (x-1) \right) \\ &= - \tfrac14 x^2 - \tfrac14 x + \tfrac14 (x-1)^2 + \tfrac14 (x-1) \\ &= - \tfrac14 x^2 - \tfrac14 x + \tfrac14 (x^2 - 2x +1) + \tfrac14 (x-1) \\ &= -\tfrac12 x, \end{align} que (afortunadamente) es exactamente lo que necesitamos para establecer la ecuación deseada. (Hasta este paso de verificación, realmente no conozca que la fórmula de $y(x)$ es correcto; sólo es una suposición inspirada hasta ese punto).
Observe que esto funciona independientemente del valor de $y(0),$ por lo que la recursividad no define una función única, sino que define un conjunto de funciones cuadráticas en las que puedes poner el término constante en lo que quieras.
Otro método, en lugar de trabajar hacia abajo desde un número entero positivo grande, es trabajar hacia arriba desde cero:
\begin{align} y(1) &= y(0) - \tfrac12(1). \tag3 \\ y(2) &= y(1) - \tfrac12(2). \tag4\\ \end{align}
Utilice $(4)$ para sustituir en $(3)$ :
$$ y(2) = y(0) - \tfrac12(1) - \tfrac12(2) . $$
Continúe así, utilizando la ecuación para cada valor de $x$ en $y(x)$ para sustituir en la ecuación del siguiente mayor $x$ :
\begin{align} y(3) &= y(2) - \tfrac12(3) = y(0) - \tfrac12(1) - \tfrac12(2) - \tfrac12(3). \\ y(4) &= y(3) - \tfrac12(4) = y(0) - \tfrac12(1) - \tfrac12(2) - \tfrac12(3)- \tfrac12(4). \\ \end{align}
A estas alturas puede que veas un patrón y seas capaz de hacer una conjetura sobre una fórmula que puedes comprobar utilizando el mismo método de comprobación que antes.
Una tercera alternativa: si se supone inicialmente que la fórmula es cuadrática entonces sólo necesitas relacionar tres valores entre sí, y esto te da tres puntos de la curva relativos a uno de los puntos. Si estás realmente inspirado, puedes elegir $x = -1, 0, 1$ :
\begin{align} y(0) &= y(-1) - \tfrac12(0) = y(-1). \\ y(1) &= y(0) - \tfrac12(1) = y(0) - \tfrac12. \\ \end{align}
La ecuación $y(0) = y(-1)$ nos dice que la gráfica de la función es una parábola con eje $x = -\tfrac12$ (a medio camino entre $x=-1$ y $x=0$ ), por lo que la ecuación tiene la forma $$ y(x) = a \left(x + \tfrac12\right)^2 + h. $$
(Esto también explica por qué la respuesta no puede ser de la forma $y(x) = ax^2,$ porque sería una parábola con un eje en $x=0$ .)
A continuación, puede utilizar el hecho de que $y(1) = y(0) - \tfrac12$ para encontrar el posible valor de $a.$ El valor de $h$ es arbitraria. Aun así, hay que comprobar que la fórmula funciona para todos los $x$ y no sólo estos tres valores.
No conozco ningún método general para resolver todo recursiones de la forma $y(x) = y(x-1) + f(x)$ para cualquier función conocida $f.$ Para $f$ un polinomio obtendrás un polinomio de un grado más alto (un hecho que no utilicé en los dos primeros métodos de solución), pero eso es sólo una clase de funciones.
Los dos primeros métodos de esta respuesta se pueden resumir como "probar unos cuantos valores consecutivos y ver qué pasa", que es una técnica que se puede probar cuando no se sabe nada mejor para un problema concreto. No está garantizado que funcione, pero a menudo ayuda a encontrar una solución cuando un problema no es demasiado difícil.
