Debe $f(x) \equiv 0$?

Question

Suponga $f(x)$ es una función definida en $[0,+\infty)$ y satisface las siguientes:

1. $f'(x) \geq 0$

2. $f(0)=0$

3. $f'(x) \leq f(x)$

Debemos tener siempre $f(x) \equiv 0$ ? Gracias por la solución.

Answer 1

Como $f(0)=0$ y para todos $x\geq0$, $f'(x)\geq0$, tenemos $f(x)\geq0, \forall x\geq0$.

Definir $$g(x)=\mathrm e^{-x}f(x)$$ y calcular $$g'(x)=\mathrm e^{-x}\left(f'(x)-f(x)\right)\leq 0$$ como $g(0)=0$ tenemos $g(x)\leq 0$ todos los $x\geq0$. Por lo tanto, tenemos $$f(x)=\mathrm e^xg(x)\leq 0,\quad \forall x\geq0,$$ lo que demuestra $f\equiv0$.

Answer 2

Para agregar a la muy agradable técnicas ya usadas, he aquí otra manera de ver que $f = 0$. Poner $M_x = \sup_{t\in[0,x]}{|f(t)|}$. (En realidad, como @V. Rosetto notas, $f$ es creciente y por lo $M_x = f(x)$, lo que simplifica las cosas!) Para cada una de las $x>0$, el valor medio teorema proporciona una $t\in(0,x)$ tal que $f(x) = xf'(t)$. Pero, a continuación, \begin{align*} M_x = \sup_{t\in[0,x]}|f(t)| \leq \sup_{t\in[0,x]} t|f'(t)| \leq \sup_{t\in[0,x]} t|f(t)|\leq xM_x \tag{1} \end{align*} para $x>0$. A continuación, para $x\in(0,1)$, debemos tener $M_x = 0$, para $(1)$ conducir a la contradictoria de la desigualdad de $M_x<M_x$. Por lo tanto $f = 0$$[0,1)$.

Pero ahora $x\mapsto f(x-1)$ satisface las mismas condiciones como $f$$[0,\infty)$, y así se desvanece en $[0,1)$. Esto significa que $f$ se desvanece en $[0,2)$. Ahora considere el $x\mapsto f(x-2)$, y así sucesivamente.

Answer 3

Deje $x_0\in[0,x]$ ser un punto en el que $f'$ supone un máximo. Entonces

$$f(x) = f(x) - f(0) = \int_0^xf'(t)dt \le xf'(x_0) \le xf(x_0) \le xf(x)$$

por lo $f$ debe $0$ $[0,1)$ y por la continuidad de $f(1) = 0$. Desde $f(x - 1)$ cumple las propiedades 1), 2), 3), el resultado sigue por inducción.