Laplaciano inverso del cuadrado de la potencia inversa $(-\Delta)^{-1} |X|^{-2}$

Question

Me interesa entender el comportamiento de las soluciones a $$ -\Delta u(x) = |x|^{-2} \, \text{ for }\, x \in B_1$$ con alguna condición de contorno (por ejemplo $u = 0$ en $\partial B_1$ ).

Dejemos que $n \geq 3.$ Me gustaría mostrar algo como $$\int_{B_1} |x-y|^{2-n} |y|^{-2} d y \simeq |\log |x|| \,\text{ as } \, x \to 0.$$ ¿Alguna idea sobre cómo ver esto?

Answer 1

Aquí hay una respuesta con un comportamiento no nítido en el origen.

Mostremos el límite superior, es decir $$ \int_{B_1} |x-y|^{2-n}|y|^{-2}\, dy \lesssim_n |\ln|x||, $$ para $x$ cerca de $0$ . El límite inferior es en realidad más fácil de manejar.

La idea es simplemente considerar por separado las singularidades de ambos términos en el integrando. Para ello, dejemos que $\varepsilon\in (0,1)$ y supongamos $\varepsilon/2<|x|<\varepsilon$ . Descomponer $$ B_1= B_{\varepsilon/4}\cup (B_{4\varepsilon}\setminus B_{\varepsilon/4})\cup (B_1\setminus B_{4\varepsilon}), $$ y romper la integral sobre $B_1$ en los trozos correspondientes a la descomposición anterior. Llamemos a cada una de estas integrales, por orden de aparición $I$ , $II$ y $III$ . En lo que sigue, todas las constantes implícitas implicadas dependen únicamente de la dimensión $n$ .

Manejando $I$ es fácil, ya que si $y\in B_{\varepsilon/4}$ entonces $\varepsilon\lesssim |x-y|$ y así $$ I\lesssim \int_{B_{\varepsilon/4}} \varepsilon^{2-n}|y|^{-2} \, dy \lesssim 1. $$

$II$ es similar, ya que en este caso $|y|\approx \varepsilon$ y así $$ II\lesssim \varepsilon^{-2} \int_{B_{4\varepsilon}\setminus B_{\varepsilon/4}} |x-y|^{2-n}\, dy \lesssim \varepsilon^{-2} \int_{B(x, 10\varepsilon)} |x-y|^{2-n}\, dy \lesssim 1. $$

Finalmente, $III$ lo utilizamos para $|y|>4\varepsilon$ tenemos $|x-y|\approx |y|$ y así $$ III\lesssim \int_{B_1\setminus B_{4\varepsilon}} |y|^{-n}\, dy \lesssim |\ln \varepsilon|. $$

Combinando todas estas estimaciones llegamos a $$ \int_{B_1} |x-y|^{2-n}|y|^{-2}\, dy \lesssim 1 + |\ln |x|| \lesssim |\ln|x||. $$

Para obtener el límite inferior basta con observar $$ \int_{B_1} |x-y|^{2-n}|y|^{-2}\, dy \geq \int_{B_1\setminus B_{2\varepsilon}} |x-y|^{2-n}|y|^{-2}\, dy, $$ y proceder como en $III$ .