Supongamos que $G$ es un grupo y $x^3y^3 = y^3x^3 ~ \forall ~x,y \in G.$ Dejemos que $H = \{x \in G |~~ |x| $ es relativamente primo de 3 $\}$ .

Question

Supongamos que $G$ es un grupo y $x^3y^3 = y^3x^3 ~ \forall ~x,y \in G.$ Dejemos que $H = \{x \in G |~~ |x| $ es relativamente primo de 3 $\}$ . Demostrar que los elementos de H conmutan entre sí

$Attempt$ : $x^3y^3 = y^3x^3 ~ \forall ~x,y \in G.$

Y $H = \{x \in G |~~ |x| $ es relativamente primo de 3 $\}$

\=> $\langle x \rangle = \langle x^3 \rangle ~ \forall ~x \in H$ y $O(x) = O(x^3)~ \forall ~x \in H$ .

\=> Elementos en $\langle x \rangle$ son los mismos que en $\langle x^3 \rangle$ en algún orden.

\=> $x = x^{3m}$ para algún m

\=> $x^{9m}y^{9m} = y^{9m}x^{9m} ~ \forall ~x,y \in G.$

Ahora no puedo seguir adelante.

(Tenga en cuenta que esta es una pregunta de Gallian y he estudiado sólo hasta grupos cíclicos antes de este ejercicio de preguntas).

Gracias

Answer 1

Una pista: Si $k:=o(x)$ y $3$ son relativamente primos, existe $p,q$ tal que $kp+3q=1$ Por lo tanto $$x=x^{kp+3q}= \left( x^q \right)^3.$$

Answer 2

Sugerencia: Considere el grupo $\langle x^3, y^3 \rangle$ . Este subgrupo es abeliano y también contiene $x$ y $y$ . Así que se desplazan.

Answer 3

$1$ . $(|x|,3)=1 \implies a|x|+b\cdot 3=1 \implies x=x^{b\cdot3}=(x^b)^3 \implies$ elementos de $H$ de viaje.

$2$ . $(|x|,3)=1,(|y|,3)=1 \implies (|x||y|,3)=1$ . Pero $(|xy|)|(|x||y|)$ Por lo tanto $(|xy|,3)=1 \implies$ $H$ -subgrupo.