Supongamos que GG es un grupo y x3y3=y3x3 ∀ x,y∈G.x3y3=y3x3 ∀ x,y∈G. Dejemos que H={x∈G| |x|H={x∈G| |x| es relativamente primo de 3 }} . Demostrar que los elementos de H conmutan entre sí
AttemptAttempt : x3y3=y3x3 ∀ x,y∈G.x3y3=y3x3 ∀ x,y∈G.
Y H={x∈G| |x|H={x∈G| |x| es relativamente primo de 3 }}
\=> ⟨x⟩=⟨x3⟩ ∀ x∈H⟨x⟩=⟨x3⟩ ∀ x∈H y O(x)=O(x3) ∀ x∈HO(x)=O(x3) ∀ x∈H .
\=> Elementos en ⟨x⟩⟨x⟩ son los mismos que en ⟨x3⟩⟨x3⟩ en algún orden.
\=> x=x3mx=x3m para algún m
\=> x9my9m=y9mx9m ∀ x,y∈G.x9my9m=y9mx9m ∀ x,y∈G.
Ahora no puedo seguir adelante.
(Tenga en cuenta que esta es una pregunta de Gallian y he estudiado sólo hasta grupos cíclicos antes de este ejercicio de preguntas).
Gracias
