La función $f(n)$ se define para todos los enteros $n$ , de tal manera que $f(x) + f(y) = f(x + y) - 2xy - 1$ para todos los enteros $x$ y $y$ y $f(1) = 1$

Question

La función $f(n)$ se define para todos los enteros $n$ , de tal manera que $f(x) + f(y) = f(x + y) - 2xy - 1$ para todos los enteros $x$ y $y$ y $f(1) = 1$ . Encuentre $f(n)$ .

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Empecé a enchufar pequeños valores y obtuve: $$f(1)=1$$ $$f(2)=5$$ $$f(3)=11$$ No veo ningún patrón hasta ahora, y no conozco otra forma de resolver esta cuestión. ¡Se agradecen mucho las soluciones!

Answer 1

Una pista: Dejemos que $g(x)=f(x)-x^2$ . Entonces $g(x)+g(y) = g(x+y)-1$ para todos $x,y$ Así que, en particular $g(x+1) = g(x)+1$ .

Answer 2

Si tomamos $x=n$ y $y=1$ , tendremos

$f(n+1)=f(n)+2n+2$ o

$f(n)=f(n-1)+2(n-1)+2$ . . .

$f(2)=f(1)+2+2$

$f(1)=1$ .

por lo que, mediante la suma, obtenemos

$f(n)=1+n(n-1)+2(n-1)$

$=\color{green}{1+(n-1)(n+2)}$

utilizamos la fórmula

$1+2+...m=\frac{m(m+1)}{2}$ .

Answer 3

Encontramos los primeros valores de $f(n)$ .

Configuración $x = y = 0$ obtenemos $2f(0) = f(0) - 1$ Así que $f(0)= -1$ .

Configuración $y = 1$ obtenemos [f(x) + f(1) = f(x + 1) - 2x - 1,] por lo que $f(x + 1) = f(x) + 2x + f(1) + 1 = f(x) + 2x + 2$ para todos los enteros $x$ .

Entonces \begin{align*} f(2) &= f(1) + 2 \cdot 1 + 2, \\ f(3) &= f(2) + 2 \cdot 2 + 2 = 2 \cdot (1 + 2) + 2 \cdot 2 + f(1), \\ f(4) &= f(3) + 2 \cdot 3 + 2 = 2 \cdot (1 + 2 + 3) + 3 \cdot 2 + f(1), \\ f(5) &= f(4) + 2 \cdot 4 + 2 = 2 \cdot (1 + 2 + 3 + 4) + 4 \cdot 2 + f(1), \end{align*} por lo que para cualquier número entero $n \ge 1$ , \begin{align*} f(n) &= 2 \cdot [1 + 2 + \dots + (n - 1)] + (n - 1) \cdot 2 + f(1) \\ &= n(n - 1) + 2(n - 1) + 1 \\ &= n^2 + n - 1. \end{align*}

Ahora debemos encontrar $f(n)$ cuando $n$ es un número entero negativo. Sea $n$ sea un número entero positivo. Configurando $x = n$ y $y = -n$ en la ecuación funcional dada, obtenemos [f(n) + f(-n) = f(0) + 2n^2 - 1 = 2n^2 - 2.] Entonces \begin{align*} f(-n) &= -f(n) + 2n^2 - 2 \\ &= -(n^2 + n - 1) + 2n^2 - 2 \\ &= n^2 - n - 1 \\ &= (-n)^2 + (-n) - 1. \end{align*}

Por lo tanto, $f(n) = \boxed{n^2 + n - 1}$ para todos los enteros $n$ .