Calculando ${(0.9)}^{\left(0.6\right)}$ con una aproximación de ${10}^{\left(-4\right)}$

Question

Estoy teniendo dificultades extremas para entender cómo utilizar el teorema de Lagrange para encontrar una aproximación. Hasta ahora para mi serie tengo:

$$(1+(-x))^\frac{3}{5}= 1-\frac{3}{5}x-\frac{3}{25}x^2-\frac{7}{125}x^3-\frac{21}{625}x^4... $$

Sabiendo que $(0.9)=(1+(-.01) $ :

$$(1+x)^\frac{3}{5}= 1-\frac{3}{5}\left(\frac{1}{10}\right)-\frac{3}{25}\left(\frac{1}{10}\right)^2-\frac{7}{125}\left(\frac{1}{10}\right)^3-\frac{21}{625}\left(\frac{1}{10}\right)^4..$$

He tomado algunos derivados de $(1+x)^\frac{3}{5}$ :

$f'=\frac{3}{5}(1+x)^\frac{-2}{5} $

$f''=\frac{-6}{25}(1+x)^\frac{-7}{5} $

$f'''=\frac{42}{125}(1+x)^\frac{-12}{5} $

$f''''=\frac{-504}{625}(1+x)^\frac{-17}{5} $

Ahora, el resto de Lagranges viene dado por:

$$ \frac{f^\left(n+1\right)(c)}{(n+1)!}(x)^\left(n+1\right)$$

Donde c está en el medio $a(a=0)$ y nuestro valor de $x (-0.1)$ .

Ahora lo que no entiendo es cómo utilizar el resto de Lagrange para encontrar un límite de error de $10^\left(-4\right)$ .

Agradezco cualquier ayuda, ya que no he sido capaz de averiguar cómo utilizar Lagrange. Tengan en cuenta que esto debe hacerse también sin calculadora.

Answer 1

Intentaré que este concepto se entienda lo mejor posible, así que empecemos... La fórmula de Taylor o la forma de Lagrange del término de error, denotado por $R_n(x:a)$ viene dada por la siguiente ecuación:- $$R_n(x:a)={f^{n+1}(c)(x-a)^{n+1}\over (n+1)! }$$ Simplemente esto da el error que implica el uso de $T_n(x)$ para aproximar $f(x)$ sobre $x=a$ o $f(x)=T_n(x)+R_n(x:a)$

Teniendo en cuenta su problema, lo sabemos, $$(1+(-x))^\frac{3}{5}= 1-\frac{3}{5}x-\frac{3}{25}x^2-\frac{7}{125}x^3-\frac{21}{625}x^4...$$

Tratemos de encontrar primero todas las variables que podemos requerir para el término de error.Así sabemos que $a=0$ pero ¿qué pasa con $n$ y $c$ ? Bueno, a menudo tendrá algún tipo de límite en $c$ . Te mostraré lo que significa en un momento. Pero antes de eso recuerda que tienes que obtener una aproximación de $10^{-4}$ . Lo que esto significa es que usted querrá que su error sea menor que este valor, por lo que podemos escribir: $$R_n(-0.1:0)<10^{-4}$$

o $${f^{n+1}(c)(-0.1)^{n+1}\over (n+1)!}<10^{-4}$$

Tenga en cuenta que cualquier $|f^{(n+1)}(c)| \leq |f^{(n+1)}(-0.1)|$ como mencionó @Ian. A esto me refería con encontrar un límite en $c$ . Te acostumbrarás a hacer estas observaciones a medida que practiques más problemas. Por ejemplo, si tienes una función trigonométrica (seno o coseno), entonces $|f^{(n+1)}(c)| \leq 1$ y así sucesivamente. Con este límite podemos escribir que: $${f^{n+1}(c)(-0.1)^{n+1}\over (n+1)!} \leq {f^{n+1}(-0.1)(-0.1)^{n+1}\over (n+1)!}$$ (Multiplicando ambos lados de la desigualdad escrita arriba por los coeficientes correspondientes).

Pero no queremos que esto exceda nuestra aproximación deseada por lo que podemos escribir: $${f^{n+1}(-0.1)(-0.1)^{n+1}\over (n+1)!}<10^{-4}$$ Como no se puede utilizar una calculadora, tendremos que probar manualmente algunos valores de $n$ hasta que obtengamos la respuesta. Así que tendrás que intentar $n=1,2,3...$ y para cada uno de esos valores calcular este término ${f^{n+1}(-0.1)(-0.1)^{n+1}\over (n+1)!}$ y ver el valor mínimo de $n$ que debe seguir hasta que la desigualdad sea finalmente satisfecha. Espero que esto ayude...