Pregunta lógica sobre el ejercicio 7 de la página 111 de "Analysis on Manifolds" de James R. Munkres.

Question

Estoy leyendo "Analysis on Manifolds" de James R. Munkres.

En la página 111 de este libro se encuentra el siguiente ejercicio:

Munkres dice " $B\subset E$ porque el límite no se puede definir si $\mathbf{x_0}$ no es un punto límite de $S$ ".
¿Lógicamente no hay problema con esta frase?

Cuando discutimos si $\lim_{\mathbf{x}\to\mathbf{x_0}} f(\mathbf{x})=0$ se mantenga o no, creo que $x_0$ debe ser un punto límite de $S$ .
Por lo tanto, creo que no podemos discutir si $\lim_{\mathbf{x}\to\mathbf{x_0}} f(\mathbf{x})=0$ se mantiene o no cuando $x_0$ es un punto aislado de $S$ .

Creo que "Para un punto aislado $x_0$ , $\lim_{\mathbf{x}\to\mathbf{x_0}} f(\mathbf{x})=0$ no se sostiene" es una frase sin sentido porque " $\lim_{\mathbf{x}\to\mathbf{x_0}} f(\mathbf{x})$ "no se puede definir.

Answer 1

Munkres adopta la siguiente convención:

Esto significa que escribir $\lim_{x\to x_0} f(x) = y_0$ es la abreviatura de las dos condiciones siguientes:

1. $x_0$ es un punto límite de $A$ .

2. $f(x) \to y_0$ como $x \to x_0$ .

Si no se cumple una de estas dos condiciones, entonces $\lim_{x\to x_0} f(x) = y_0$ no se sostiene. Tal vez sea inusual interpretar $\lim_{x\to x_0} f(x) = y_0$ en ese sentido, y puede causar confusión, pero es coherente en sí mismo.

Por cierto, nosotros podría por supuesto definen " $f$ se acerca a $y_0$ como $x$ se acerca a $x_0$ " como en el caso anterior sin ninguna restricción en $x_0$ pero si $x_0$ es un punto aislado, entonces $f$ se acerca a cada $y_0$ como $x$ se acerca a $x_0$ - simplemente porque $x_0$ tiene un vecindario abierto que no contiene ningún otro punto que $x_0$ mismo. Esto no tiene mucho sentido, y por eso Munkres dice que no intenta dar una definición en ese caso.