Demostrar que para todos los $a\in \mathbb{Z}$ y todos los primos $p$ , $p^2$ no divide $a^2-p$

Question

¿Cuál sería un método para empezar, o algunos pueden demostrar teorema útil para este problema

Demostrar que para todos los $a\in \mathbb{Z}$ y todos los primos $p$ , $p^2$ no divide $a^2-p$

Answer 1

$p^{2}\mid a^{2}-p\Rightarrow p\mid a^{2}-p\Rightarrow p\mid a^{2}\Rightarrow p\mid a$ . La última implicación porque $p$ es primo.

Así que $a=kp$ lo que resulta en:

$p^{2}\mid k^{2}p^{2}-p\Rightarrow p\mid k^{2}p-1\Rightarrow p\mid1$ .

Se encuentra una contradicción.

Answer 2

Supongamos que $p^2 \mid a^2 - p$ . Entonces $p \mid a^2 - p$ Por lo tanto $a^2$ es divisible por $p$ . Esto significa que $a$ es divisible por $p$ (ya que $p$ es primo), por lo que $p^2 \mid a^2$ , dando lugar a $p^2 \mid (a^2-p) - a^2 = -p$ . Esta contradicción demuestra que $a^2-p$ no es divisible por $p$ .

Answer 3

Consideremos dos casos. Cuando a es divisible por p y cuando no lo es. Cuando no lo es, a^2 y p son coprimos. Cuando lo es, se expande como q*algo y se procede.