¿Cuál es la mejor estrategia para los juegos de "Cookie-Clicker"?

Question

Hoy me he topado con el juego Cookie Clicker, que te recomiendo que evites hasta que tengas al menos unas horas de tiempo que perder.

La idea básica del juego es esta: Tienes un gran alijo de moneda, que aumenta constantemente al ritmo dado. En un momento dado, tienes una serie de mejoras, cada una de las cuales tiene un costo $c_n$ y cada una de ellas tiene un valor de producción $p_n$ . Al comprar una actualización, el costo se deduce de mi banco, y la tasa de ingresos se incrementa por el valor de la producción.

Por ejemplo, si tengo $1,000$ galletas aumentando a un ritmo de $10$ galletas por segundo, podría comprar una actualización $(150,2)$ que tendrá un resultado final de $850$ galletas que aumentan en $12$ galletas por segundo.

Me tropecé con esta pregunta que preguntaba sobre una posible heurística, pero se demostró que la heurística en cuestión tenía algunos defectos. (También robé gran parte de mi notación de allí)

Encontré la siguiente fórmula para dar la "mejora de tiempo" de cualquier actualización, que es la cantidad de tiempo que se ahorrará al comprar esa actualización.

$$\text{Time Improvement} =\frac{g-x+\text{min}(0,x-c_1)}{p_0}-\frac{g-x+\text{min}(c_1,x)}{p_0+p_1}$$ Donde $p_0$ es la tasa de producción actual, $x$ es mi escondite actual, y $g$ es el objetivo de cuántas galletas en total quiero tener. Básicamente, esto tiene en cuenta el tiempo que se espera que tome a la tasa actual y futura, y el tiempo que tomará para volver a ganar el dinero gastado/esperar para ganar el dinero para gastar. Además, los valores más grandes se consideran mejores.

A partir de esto, mi estrategia ha sido comprar la actualización con la mayor mejora de tiempo. Si aún no tengo suficiente dinero para comprar la mejora requerida, establezco el costo de esa mejora como mi objetivo actual y repito la estrategia. Sin embargo, no creo que esto sea lo óptimo.

Aunque el juego no tiene un final definido, me voy a fijar un objetivo de $4$ mil millones de galletas, suficientes para comprar el condensador de antimateria. Supongamos que tengo una tasa inicial de $0.1$ galletas por segundo. Aquí está la lista de las principales mejoras del juego, aunque hay varios otros potenciadores:

Cost per item, Increase of cookies per second
15, 0.1
100, 0.5
500, 4
3000, 10
10000, 40
40000, 100
200000, 400
1666666, 6666
123456789, 98765

Al comprar una actualización, el costo de esa actualización aumenta en $15\%$ aunque el valor de la producción sigue siendo el mismo.

¿Cuál es la mejor estrategia para juegos similares a éste? Dada una lista de mejoras, ¿cómo debo hacer mis compras para minimizar el tiempo que lleva llegar a los cuatro mil millones?

Answer 1

Dijiste que estabas buscando lo mejor mejora del tiempo pero el objetivo del juego es maximizar tu conteo de galletas. Con una estrategia a largo plazo puedes jugar el juego en ráfagas eligiendo periódicamente una inversión óptima, y luego dejándolo correr por sí mismo en una pestaña de fondo para el período de tiempo subsiguiente.

Así que vamos a elegir un período de inactividad $T$ de 1 hora o 3600 segundos. El objetivo entonces es maximizar su puntuación $C(t)$ en $t=T$ invirtiendo en términos que contribuyan a $C$ pero con la restricción de que $C(t) \ge 0$ siempre. Los términos de $C$ corresponden a las inversiones en las fábricas (cursor, abuela, ...).

Puedes invertir en un plazo $nBt$ donde $B$ es el rendimiento base de la fábrica (por ejemplo, las abuelas tienen 15 años) y $n$ es el número de fábricas en las que has invertido. Sin embargo, el $i$ los costes de la fábrica $P\times(1.15)^{i-1}$ donde $P$ es el primer precio. El costo entonces de $n$ fábricas es la suma de exponenciales :

$$\sum_{i=1}^n P\times(1.15)^{i-1} = P {1 - (1.15)^n \over 1 - 1.15} \\ = {P\over 0.15} \times (1.15^n - 1) $$

Asumiendo que no tenía fábricas para empezar, y que quiere comprar (desconocido) $n$ fábricas para dejarla en paz para (conocido) $T$ segundos. Su ganancia neta $G(n)$ en ese momento es

$$ G(n) = nBT - {P\over 0.15} \times (1.15^n - 1) $$ El mejor $n$ en este caso aislado se encuentra probablemente donde $G'(n)=0$ : $$ BT - {P\over 0.15}{(1.15)^n \ln 1.15 } = 0\\ n = {\ln 0.15 - \ln\ln1.15 \over \ln1.15}+ {1\over \ln1.15}\ln({BT\over P})\\ n = 0.505822 + 7.155 \times \ln({BT\over P}) $$

Por lo tanto, los puntos dulces para T=3600 son

Factory       B          P      n (for T=3600)
--------  -----   --------   ----
Cursor      0.1         15   23.2
Grandma     0.5        100   21.1
Farm          4        500   24.5
Factory      10       3000   18.2
Mine         40      10000   19.5
Shipment    100      40000   16.2
Alchemy     400     200000   14.6
Portal     6666    1666666   19.6

Esto dice aproximadamente que una estrategia para maximizar las galletas es comprar unas 20 de las mejores fábricas actuales, irse y volver en una hora y luego vender todo. Por supuesto que no cubre cómo puedes permitirte el lujo de $n$ unidades en primer lugar. Así que tengo que admitir que esto es, en el mejor de los casos, un primer paso hacia una estrategia más completa.

Answer 2

Sugiero que empieces a comprar algunos de los más pequeños si estás empezando, y que te muevas de ahí. Definitivamente quieres el condensador de antimateria, pero esos se ponen caros. Una estrategia que he usado (y estoy usando mientras escribo esto) es dejar que el juego funcione por sí solo durante un tiempo, volver, comprar algunas cosas más y continuar. Esto ha demostrado ser exitoso en muchas ocasiones. He usado esta estrategia desde el primer día y ahora tengo 90.000.000.000 de galletas (y contando), y este es sólo el segundo día. También tengo una buena cantidad de "fabricantes", así que no es como si estuviera almacenando todas mis galletas.