¿Qué más Chow grupos de decir?

Question

Deje que $z^i(X, m)$ ser el libre abelian grupo generado por todos los codimension $i$ subvariedades en $X \times \Delta^m$ que se cruzan todas las caras de $X \times \Delta^j$ correctamente para todos los j < m. Entonces, para cada i, estos grupos se reúnen para dar, con los mapas de restricción a estas caras, una simplicial grupo cuyo homotopy grupos son los más Chow grupos CH^i(X,m) (m=0 da a los clásicos).

¿Alguien tiene una intuición para compartir acerca de estas altas Chow grupos? ¿Qué miden/media? Si me pase de la simplicial grupo a un complejo de cadena, lo que significa estar en el núcleo/imagen de la diferencial?

Se podría decir que la mayor Chow grupos a mantener un seguimiento de cuántas formas de dos ciclos pueden ser racionalmente equivalente (y que de estas diferentes maneras, a continuación, equivalente etc.)?

Por último: no veo ninguna razón por la que la definición no debe dar sentido a través de los números enteros o peor de la base de esquemas. ¿Es esto cierto? ¿Tal vez todavía tienen sentido, pero pierde su significado?

Answer 1

Benjamin Antineau a responder a las necesidades de una pequeña corrección. Para $X= spec (k)$ tenemos $CH^n (X, n) = K^M _n (k)$, $CH^{2n} (X, n)$. De hecho, no muchos de los que se conoce, pero es un tema muy, muy interesante (al menos para mí) para perseguir. Un buen comienzo sería Burt Totaro del papel 'Milnor K-teoría es la parte más sencilla de la K-teoría" o algo similar titulado, donde se puede encontrar la versión cúbica de ella. El uso de $\mathbb{A}^1$invariancia con algunos espectral de la secuencia de argumentos, uno puede demostrar que las anteriores "simplicial versión" y "cúbica versión" son isomorfos, lo que equivale.

Volviendo a Peter Arndt la pregunta acerca de la 'intuición', la más sencilla sería ver como un algebro-geométrico versión singular de la teoría de la homología.

Por ejemplo, cuando $X$ es un espacio topológico, un singular $$n-simplex es dada por un mapa continuo $s: \Delta ^n \a X$. Recogemos su formal finito de sumas de los números enteros, y aplicar algunos simplicial formalismos. Que es cómo conseguimos el singular complejo.

Cuando $X$ es una variedad, el problema es la mala, incluso si tenemos $\Delta^n$ a ser la algebraica de n-simplex. Un problema podría ser que no hay suficientes morfismos de variedades $s: \Delta^n \a X$ para empezar. Así, una manera de tomar todas las "correspondencias", es decir, cerrado subvariedades en el espacio del producto $\Delta^n \times X$. Un problema que todavía persiste aquí es que, para ser capaz de aplicar el simplicial formalismo, uno tiene que tener una buena intersección de la propiedad de las correspondencias con los rostros de $\Delta^n$, pero tomando todas las algebraica de los ciclos, uno no puede conseguir. En consecuencia, ponemos a condiciones tales como la intersección con todas las caras.

Es por eso que definimos las cosas de esta manera.

Respecto a la pregunta de ¿qué kernel/imagen: es difícil explicar todo, pero el caso más fácil posible que vale la pena prestar atención: por ejemplo, $z^i (X, 0)$ es la codimension me algebraicas en los ciclos de $X$, y el mapa de límite de $z^i (X, 1) \z^i (X, 0)$, por definición, da la equivalencia racional de los ciclos en $X$. De esta manera, a partir de la cokernel por ejemplo, recuperamos el Chow grupo.

Answer 2

Esto no puede ser particularmente útil, pero cuando $X=\mathrm{spec} k$, para un campo $k$, entonces $CH^{2n}(X,n)=K_n^M(k)$, el Milnor $K$-teoría de la $k$. No sé si hay alguna otra utilidad de las caracterizaciones. Muy poco se sabe, excepto para las propiedades formales como $A^1$invariancia y tal.

Yo creo que, sin duda, uno puede definir la mayor Chow grupos de más de otros esquemas. Para una referencia, me gustaría comprobar Levine, el libro de motivic cohomology.

Answer 3

Creo que Bloch original de penetración fue algo como lo siguiente:

En primer lugar, si $X$ es un esquema regular, usted puede filtrar $K_0$ por `codimension de apoyo"; es decir, la vista $K_0(X)$ como el grupo de Grothendieck de la categoría de todos los finitely módulos generados y dejar que $F^iK_0(X)$ es la parte generada por los módulos con codimension de apoyo mayor que o igual a $i$.

Siguiente, supongamos que desea imitar esta construcción por $K_m$ en vez de $K_0$. El primer paso es notar que si el parche dos copias de $\Delta^m_X$ a lo largo de sus "límites" (es decir, la unión de las imágenes de las diferentes copias de $\Delta^{m-1}_X$) y llame al resultado $S^m_X$, entonces Karoubi-Villamayor teoría dice que $K_m(X)$ es un sumando directo de $K_0(S^m_X)$. (El complemento directo sumando es de $K_0(X)$.)
Así que basta encontrar una "filtración por codimension de apoyo" en $K_0(S^m_X)$.

La costumbre construcciones no funcionan porque $S^m_X$ no es regular (por lo que, en particular, no todos los módulos se corresponden con $K$-clases de teoría.)

Pero: un ciclo en $z^i(X,m)$ tiene una parte positiva de $z_+$ y una parte negativa de $z_-$ que, (si es que homologically un ciclo) deben ponerse de acuerdo sobre el límite. Por lo tanto, se puede imaginar toma $\Delta^m_X$-módulos de $M_+$ y $M_-$ apoyado en estos positivos y negativos de las partes y la aplicación de parches a lo largo de la frontera para obtener un módulo sobre $S^m_X$. Si este módulo ha finito proyectivo de dimensión (que se `debe" a causa de todo el adecuado, cumpliendo las condiciones, y siempre que no tiene mala incrustada componentes), nos da una clase en $K_0(S^m_X)$, por lo tanto, una clase en $K_m(X)$, y podemos tomar la $i$ parte de la filtración a ser generados por las clases que se presentan en este camino.

El Bloch-Lichtenbaum trabajo en gran parte para superar esta intuición, pero esto era (creo) la original intuición de por qué debería funcionar.