Observe que $$I=\int^\infty_0\frac{\sin(ax)}x dx=\frac12\int^\infty_{-\infty}\frac{\sin(ax)}x dx=\frac12\Im\underbrace{\text{P}\int^\infty_{-\infty}\frac{e^{iax}}x dx}_{\text{Let}=J}$$
Dejemos que $f(z)=\frac{e^{iaz}}z$ .
Para $a>0$ :
Considere un contorno $C$ que es un semicírculo infinitamente grande en el semiplano superior, centrado en el origen. Añade también una semicircunferencia infinitamente pequeña centrada en el origen.
$$\oint_Cf(z)dz=\underbrace{\int_{\text{arc}}f(z)dz}_{\to0}+\underbrace{\int^\infty_{0^+}f(z)dz+\int^{0^-}_{-\infty}f(z)dz}_{=J}+\int_{\text{indent}}f(z)dz$$
Por el teorema integral de Cauchy, $$\oint_Cf(z)dz=0$$
También, $$\int_{\text{indent}}f(z)dz=-\frac12\cdot2\pi i\text{Res}_{z=0}f(z)=-\pi i$$ (el signo menos se debe a la orientación del arco de sangría en el sentido de las agujas del reloj, y el $\frac12$ es debido a que la sangría es la mitad de un círculo).
Ensamblando las cosas, obtenemos $$J=\pi i\implies\color{blue}{ I=\frac{\pi}2}$$
Para $a<0$ :
Análogamente, tomemos un semicírculo infinitamente grande en el semiplano inferior, centrado en el origen, con una pequeña sangría en el origen.
Aquí, $$\int_{\text{indent}}f(z)dz=-\frac12\cdot 2\pi i \text{Res}_{z=0}f(z)=-\pi i$$
Con procedimientos similares, por el teorema integral de Cauchy, $$-J-\pi i=0$$
Entonces, obtenemos $$\color{blue}{I=-\frac{\pi}2}$$
Pegando dos cajas:
$$\color{red}{\int^\infty_0\frac{\sin(ax)}xdx=\text{sgn}(a)\frac{\pi}2}$$
