Optimización con restricciones dependientes

Question

En la teoría general de la optimización con restricciones, ¿es posible plantear un problema de minimización sujeto a algunas restricciones que son dependientes?

Por ejemplo, supongamos que pretendemos minimizar una función objetivo $\mathscr F(x,y,z)$ para los parámetros de diseño $x$ , $y$ y $z$ , de tal manera que $z=x^2+y^2$ . ¿Es correcto tener tal restricción, teóricamente?

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$z=x^2+y^2$

Answer 1

Como dijo Cade Reinberger en un comentario, se puede hacer esto expresando la restricción como $z=z(x,y)$ (podría funcionar con cualquiera de las variables, si es que lo hace) y luego minimizar la función resultante $F(x,y)=\mathscr F(x,y,z(x,y))$ resolviendo $\nabla F(x,y)=\mathbf 0$ .

Alternativamente, puede expresar su restricción como $g(x,y,z)=0$ y resolver el sistema $$ \left\{ \begin{align} \nabla\mathscr F(x,y,z)&=\lambda\nabla g(x,y,z) \\ g(x,y,z)&=0 \end{align} \right. .$$ Si quieres una explicación de este método, se llama método de los multiplicadores de Lagrange, y proviene de la forma en que se comportan los contornos de las funciones en los puntos críticos.