Encuentre $ C_{D_{12}}(a)$ =centralizador de $a$ y $ C_{D_{12}}(b)$ =centralizador de $b$

Question

Consideremos el grupo diédrico $D_{12}=\left\langle a,b: a^6=e, \ b^2=e, \ ba=a^5b \right\rangle$ de orden $12$ de simetrías del hexágono regular. Cada elemento de $D_{12}$ puede escribirse como $a^ib^j, \ 0 \leq i \leq 5, \ 0 \leq j \leq 1$ .

Encuentre $ C_{D_{12}}(a)$ =centralizador de $a$ y $ C_{D_{12}}(b)$ =centralizador de $b$ .

Respuesta:

Lo sabemos,

$ |cl_{D_{12}}(a)|$ =cardinalidad de la clase de conjugación del elemento $a$ es $2$ ,

$ |cl_{D_{12}}(b)|$ =cardinalidad de la clase de conjugación del elemento $b$ es $3$ .

Ahora,

cardinalidad de $C_{D_{12}}(a)=\frac{|D_{12}|}{|cl_{D_{12}}(a)|}=\frac{12}{2}=6,$

cardinalidad de $C_{D_{12}}(b)=\frac{|D_{12}|}{|cl_{D_{12}}(b)|}=\frac{12}{3}=4$ .

Pero no puedo encontrar el grupo de centralizador como arriba

Ayúdame

Answer 1

Ha calculado correctamente la cardinalidad

Si quieres un centralizador explícito de a y b entonces

$C_{D_{12}}(a)=<a>=$ { $e,a,a^2...,a^5$ }

$C_{D_{12}}(b)=<a^3,b>=$ { $e,a^3,b,a^3b$ }

Editar:

$C_{D_{12}}(b)=$ { $x\in D_{12} |xbx^{-1}=b $ }

$<a,b>=D_{12}$

Así que cada $x=a^ib^j$ donde $0\leq i< 6 , j=0$ o $ 1$

Así que comprueba para qué i satisface una ecuación

$a^i(b)a^{-i}=b$

$b=a^{2i}b$

implica $i=3 or 6$

SO $a^3,e\in C_{D_{12}}$

Del mismo modo, compruebe para qué i satisface la siguiente ecuación

$a^ib(b)a^ib=b$

implica $a^{2i}b=b$

implica $i=3 or 6$

Es decir $a^3b,b\in C_{D_{12}} $

Nota:

Trate de trabajar con el grupo electrógeno Se reducirá el cálculo en mucha mayor medida como hemos hecho anteriormente en lugar de hacer manualmente cada término