Como Todd ya ha escrito una respuesta para mí, tal vez pueda reclamarla como respuesta:
Ejercicio 1.1 de mi libro Fundamentos prácticos de las matemáticas (CUP 1999) dice,
Cuando Bo Peep tenía demasiadas ovejas para ver dónde estaba cada una a lo largo de día, encontraba un palo o una piedra para cada oveja y las trasladaba de una pila fuera del corral a otra dentro, o viceversa, según viceversa, a medida que la oveja correspondiente entraba o salía. Una noche hubo una tormenta y las ovejas volvieron a casa demasiado rápido demasiado rápido para que ella encontrara los objetos adecuados, así que para cada oveja que entraba por cada oveja que entraba, se limitaba a mover CUALQUIER objeto. Movió todos los objetos, pero pero seguía preocupada por el lobo. A la mañana siguiente, se dio cuenta de que el método que el método de cálculo menos cuidadoso era el más adecuado. suficiente. Explica su razonamiento sin la ayuda de los números .
Mi motivo para ponerlo en el libro era intentar que algún antropólogo dijera cuándo y cuál era la "prueba" original, es decir, la base cognitiva de la creencia largamente universal de que esto es válido, que proporciona la justificación de contar con números.
Lo que trato de imaginar es cómo uno de nuestros lejanos ancestros con las habilidades cognitivas pero no la educación de un matemático podría abordar esto. Por supuesto, no habrían formulado la Inducción de Peano o el Descenso Infinito Euclidiano. Tendrían un argumento (que nosotros aceptaríamos más o menos como riguroso) de que el resultado es verdadero para tres ovejas, luego para cuatro y cinco. Después de Después utilizarían la Inducción en el sentido epistemológico ingenuo para convencerse de que es cierto para conjuntos arbitrariamente grandes.
Parece plausible que cualquier persona a la que se le rete a presentar una prueba daría la siguiente prueba (aunque no constructiva).
Supongamos que unas ovejas $s_0$ falta por la noche. Entonces el guijarro $p_0$ que le sirvió de "nombre" por la mañana fue utilizado para algunas otras ovejas $s_1$ por la noche. Pero entonces $s_1$ debe haber sido nombrado por un guijarro diferente $p_1$ por la mañana, que nombró a otra oveja $s_2$ por la noche. Y así sucesivamente. Todas las ovejas $s_0$ , $s_1$ , $s_2$ ... son individuos diferentes, Así mismo todos los guijarros $p_0$ , $p_1$ , $p_2$ , ... Pero, esencialmente como dice Euclides en el Libro VII, Proposición 31, esto es imposible para un conjunto de ovejas.
Por casualidad, este tema surgió recientemente tras un seminario interno de Martin Escardo en Birmingham (donde ahora soy Investigador Honorario de investigación). Él estaba desarrollando los fundamentos de la aritmética (en el entorno de la Teoría de Tipos de Homotopía, aunque esto no era esencial) de tal manera que $3\times 5=5\times 3$ se podía ver en de forma primaria como la transposición de un rectángulo.
Se basó en una función $F:{\mathbb{N}}\to{\mathsf{Set}}$ con $F0=\emptyset$ y $F(\mathsf{succ} n)=F(n)\coprod{\mathbf{1}}$ . En su tratamiento la Proposición más difícil es $$ F(n)\cong F(m) \Longrightarrow n=m, $$ que dedujo a partir del lema $$ X\coprod{\mathbf{1}}\cong Y\coprod{\mathbf{1}} \Longrightarrow X \cong Y. $$
Este lema se cumple en cualquier categoría lextensa , es decir uno con límites finitos y coproductos disjuntos estables. La Proposición se sigue utilizando la inducción de Peano, ya que entonces $$ F(n+1)\cong F(m+1) \Longrightarrow F(n)\cong F(m) \Longrightarrow n=m \Longrightarrow n+1=m+1. $$
Creo que es razonable suponer que Bo Peep podría formular este Lemma, pero creo que es más plausible que ella que utilice el argumento del "descenso infinito" en lugar de la proposición.
No estoy seguro de que esto responda a la pregunta original sobre la justificación del "uso de categorías, o isomorfismos o equivalencias", aunque tal vez el tratamiento de Martin de la aritmética lo haga.
