Conseguir $(1-3x^6 + 3x^{12} - x^{18}) \sum_{i=0}^{\infty} \binom{i+2}{2} x^{i}$ de $(\frac{1-x^{6}}{1-x})^3$ utilizando funciones generadoras

Question

No estoy seguro de cómo conseguir $(1-3x^6 + 3x^{12} - x^{18}) \sum_{i=0}^{\infty} \binom{i+2}{2} x^{i}$ de $(\frac{1-x^{6}}{1-x})^3$ .

Conozco las siguientes series.

$$\frac{1}{1-x}=(1+x+x^2 + x^3 + x^4 + ...)$$

$$\frac{1}{1-x^6}=(1+x^6+x^{12} + x^{18} + x^{24} + ...)$$

Answer 1

Una pista. Desde $$ \frac{1}{1-x}=\sum_{i=0}^{\infty}x^i,\quad |x|<1, $$ al diferenciar, se obtiene $$ \frac{1}{(1-x)^2}=\sum_{i=1}^{\infty}ix^{i-1},\quad |x|<1, $$ o, cambiando $i-1$ a $i$ , $$ \frac{1}{(1-x)^2}=\sum_{i=0}^{\infty}(i+1)x^{i},\quad |x|<1, $$ diferenciando de nuevo y cambiando $i-1$ a $i$ de nuevo : $$ \frac{2}{(1-x)^3}=\sum_{i=0}^{\infty}(i+1)(i+2)x^i,\quad |x|<1, $$ y luego dividir por $2$ observando que $$ \binom{i+2}{2} =\frac{(i+1)(i+2)}{2} $$ conduce al resultado deseado, teniendo en cuenta que $$ \left(1-x^6\right)^3=1-3 x^6+3 x^{12}-x^{18}.$$