La evaluación de $\int_0^\infty \frac{\cos(ax)-e^{-ax}}{x \left(x^4+b^4 \right)}dx$

Question

¿Cómo se puede evaluar

$$\int_0^\infty \frac{\cos(ax)-e^{-ax}}{x \left(x^4+b^4\right)}dx \quad a,b>0$$

mediante el Análisis Complejo? Este problema se da en un Complejo Análisis del libro que estaba leyendo. La respuesta que nos da es

$$\frac{\pi}{4b^4}e^{-ab/\sqrt{2}}\sin \left(\frac{ab}{\sqrt{2}} \right)$$

Que la función de contorno, debemos considerar?

Answer 1

Considere la integral

$$\oint_C dz \frac{e^{i a z}-e^{-a z}}{z (z^4+b^4)}$$

donde $C$ es un cuarto de círculo de radio de $R$ en el primer cuadrante del plano complejo. (Que es, $\Re{z} > 0$, $\Im{z}>0$.) Esta integral es igual a

$$\int_0^R dx \frac{e^{i a x}-e^{-a x}}{x (x^4+b^4)} + i R \int_0^{\pi/2} d\theta \, e^{i \theta} \frac{e^{i a R e^{i \theta}}- e^{-a R e^{i \theta}}}{R e^{i \theta} (R^4 e^{i 4 \theta}+b^4)} + \int_R^0 dx \frac{e^{-a x}-e^{-i a x}}{x (x^4+b^4)}$$

La segunda integral se desvanece como $R \to \infty$. Esto es debido a que la magnitud de la integral está delimitado por

$$\frac{1}{R^4}\int_0^{\pi/2} d\theta \, e^{-\sqrt{2} a R \sin{(3 \pi/4-\theta)}} \le \frac{2}{R^4} \int_{\pi/4}^{\pi/2} d\theta \, e^{-2 \sqrt{2} a R \theta/\pi} \le \frac{\pi}{\sqrt{2} a R^5} e^{-2 a R/\pi}$$

El contorno de la integral es entonces igual a, $R \to \infty$

$$\int_0^{\infty} dx \frac{e^{i a x} + e^{-i a x} - 2 e^{-a x}}{x (x^4+b^4)}$$

Tenga en cuenta que esto es el doble de la integral buscada.

El contorno de la integral es también igual a $i 2 \pi$ veces el residuo en la pole $z=b e^{i \pi/4}$, o

$$i 2 \pi \frac{e^{i a b e^{i \pi/4}} – e^{- a b e^{i \pi/4}}}{-4 b^4}$$

De modo que la integral buscado es

$$\int_0^{\infty} dx \frac{\cos{a x}-e^{-a x}}{x (x^4+b^4)} = \frac{\pi}{2 b^4} e^{-a b/\sqrt{2}} \sin{\frac{a b}{\sqrt{2}}}$$

Esta respuesta está de acuerdo con Mathematica.

Answer 2

La siguiente es una evaluación que no uso el contorno de la integración.

Deje $ \displaystyle I(a) = \int_{0}^{\infty} \frac{\cos (ax) - e^{-ax}}{x(x^{4}+b^{4})} \ dx$.

A continuación, la diferenciación bajo el signo integral, $$ \begin{align} I^{(4)}(a)+b^{4}I(a) &= \int_{0}^{\infty} \frac{\cos(ax)-e^{-ax}}{x} \ dx \\ &= \text{Ci}(ax) - \text{Ei}(-ax) \Bigg|^{\infty}_{0} \\ &= \lim_{x \to \infty} \left( \frac{\sin ax}{ax} + \mathcal{O}(x^{-2})\right) -\lim_{x \to 0^{+}} \Big(ax + \mathcal{O}(x^{2}) \Big) \\ &= 0 \end{align}$$ where $\texto{Ci}(x)$ is the cosine integral and $\text{Ei}(x)$ es la integral exponencial.

La ecuación característica de la anterior lineal homogénea de la ecuación diferencial es $r^{4}+b^{4}=0$, que tiene raíces $ r= \frac{b}{\sqrt{2}} ( \pm 1 \pm i )$.

La solución general de la ecuación diferencial es, por tanto, $$ \begin{align} I(a) &= C_{1}e^{ab/ \sqrt{2}} \cos \left(\frac{ab}{\sqrt{2}} \right) + C_{2}e^{ab/ \sqrt{2}} \sin \left(\frac{ab}{\sqrt{2}} \right)+C_{3}e^{-ab/ \sqrt{2}} \cos \left(\frac{ab}{\sqrt{2}} \right)\\ &+C_{4}e^{-ab/ \sqrt{2}} \sin \left(\frac{ab}{\sqrt{2}} \right). \end{align}$$

Pero desde $I(a)$ sigue siendo finito como $a \to \infty$, $C_{1}$ y $C_{2}$ debe ser cero.

Para encontrar las constantes $C_{3}$ $C_{4}$ podemos utilizar las condiciones iniciales $I(0)=0$ $$ \begin{align} I'(0) = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{x^{4}+b^{4}} \ dx &= \frac{1}{b^{4}} \int_{0}^{\infty} \frac{1}{(\frac{x}{b})^{4}+1} \ dx \\ &= \frac{1}{b^{3}} \int_{0}^{\infty} \frac{1}{u^{4}+1} \ du \\ &= \frac{1}{b^{3}}\frac{\pi}{4} \csc \left( \frac{\pi}{4}\right) \\ &= \frac{\pi \sqrt{2}}{4b^{3}}. \end{align} $$

Para satisfacer la primera condición inicial, $C_{3}$ debe ser cero.

Y el uso de la segunda condición inicial tenemos $$ \frac{\pi \sqrt{2}}{4b^{3}} = C_{4}\frac{b}{\sqrt{2}},$$

lo que implica $$C_{4} = \frac{\pi}{4b^{4}}.$$

Por lo tanto,

$$ I(a) = \int_{0}^{\infty} \frac{\cos (ax) - e^{-ax}}{x(x^{4}+b^{4})} \ dx = \frac{\pi}{{\color{red}{2}}b^{4}} e^{-ab/ \sqrt{2}} \sin \left(\frac{ab}{\sqrt{2}} \right).$$