Constantes y principio de superposición en las EDP

Question

Dada esta ecuación diferencial parcial: $$ x \frac{\partial u}{\partial x} -\frac 12 y\frac { \partial u}{\partial y} = 0$$

Me gustaría encontrar primero la solución general y luego aplicar la condición de contorno: $u(1,y) = 1+ \sin y$ .

He utilizado una técnica de separación de variables, y he obtenido dos EDO's : $$\frac 1X dX = \frac \lambda x dx$$ y $$\frac 1Y dY = \frac{2\lambda}y dy $$

Así que una solución será: $u(x,y) = Cx^\lambda y^{2 \lambda} $ . Estoy confundido al usar la superposición que dice que puedo sumar todas las soluciones porque lambda puede tomar cualquier valor (incluso un número complejo). No entiendo si esto significa que tengo que sumar sobre lambda así: $$u(x,y) = \sum C_{\lambda} x^\lambda y^{2\lambda } $$ o integrar porque lambda es una variable técnicamente continua: $$u(x,y) = \int_{-\infty}^{+\infty} C_{\lambda} x^\lambda y^{2\lambda } d \lambda$$ Me parece que usar la suma sería más fácil para resolver el problema de la condición de contorno ya que podría equiparar el sumando con el sumando en la serie de Taylor para $1+ \sin x $ . Si la integral es la forma correcta de proceder, ¿cómo hago para evaluar esta integral y cómo podré resolver la PBC a partir de ahí? Cualquier ayuda sería estupenda.

Answer 1

$$ x \frac{\partial u}{\partial x} -\frac 12 y\frac { \partial u}{\partial y} = 0$$ Para hacerlo más comprensible, compararemos los resultados de dos enfoques diferentes.

El método de las características conduce a esta solución general: $$u(x,y)=F(x\,y^2)$$ $F$ es una función arbitraria.

El método de separación de variables conduce a soluciones en estas formas con $t=x\, y^{2 }$ : $$u(x,y) = \sum_{\lambda} C_{\lambda} x^\lambda y^{2\lambda } =\sum_{\lambda} C_{\lambda} t^\lambda$$ $C_\lambda$ son constantes arbitrarias.

o : $$u(x,y) = \int C(\lambda) x^\lambda y^{2\lambda } d \lambda=\int C(\lambda) t^\lambda d \lambda$$ $C(\lambda)$ es una función arbitraria.

Desde $C_{\lambda}$ son constantes arbitrarias y como $C(\lambda)$ es arbitraria, por lo que $\sum C_{\lambda} t^\lambda$ o $\int C(\lambda) t^\lambda d \lambda$ son funciones arbitrarias de $t$ diga $F(t)$ . $$u(x,y)=F(t)=F(xy^2)$$ Los dos métodos conducen a formas equivalentes de la misma solución general.

CONDICIÓN : $u(1,y)=1+\sin(y)$ $$u(1,y)=1+\sin(y)=F(y^2)$$ Dejemos que $Y=y^2$ $$1+\sin(\sqrt{Y})=F(Y)$$ Ahora la función $F$ es conocido. Lo ponemos en la solución general anterior donde $Y=xy^2$

$u(x,y)=1+\sin(\sqrt{xy^2})$ $$u(x,y)=1+\sin(y\sqrt{x})$$