¿Cuál es la fuerza de consistencia de "Todo conjunto es miembro de un modelo transitivo"?

Question

Recordemos que $\kappa$ es un cardenal mundano si $V_\kappa$ es un modelo de $\sf ZFC$ . Aunque todo cardinal mundano es un cardinal de límite fuerte, no es necesariamente regular. La cuestión es que la secuencia cofinal corta no es definible de primer orden, por lo que no se viola la sustitución.

En particular, el primer cardinal mundano tiene cofinalidad contable, y de hecho el primer cardinal mundano que es un límite del cardinal mundano tiene cofinalidad contable (al igual que los cardinales mundanos por debajo de él).

Considere la siguiente afirmación "Para cada $x$ existe un modelo transitivo $M$ tal que $x\in M$ ". Es evidente que esta afirmación se desprende de "Existe una clase propia de cardenales mundanos". ¿También lo implica, o al menos es equiconsistente con él?

Answer 1

La respuesta es no, porque afirmo que si $\kappa$ es mundano, entonces $V_\kappa$ piensa que todo conjunto es miembro de un modelo transitivo de ZFC.

Para ver esto, observe primero que cada cardenal mundano $\kappa$ es un punto fijo de beth $\beth_\kappa=\kappa$ y además $V_\kappa=H_\kappa$ el conjunto de conjuntos cuyos cierres transitivos tienen un tamaño inferior a $\kappa$ . Ahora considere cualquier $x\in V_\kappa$ . Por el teorema de Löwenheim-Skolem, podemos encontrar una subestructura elemental $X\prec V_\kappa$ con $x\subseteq X$ y $x\in X$ con $|X|=|\text{TC}(x)|<\kappa$ . El colapso transitivo $M$ de $X$ será un modelo de ZFC que contiene $x$ como elemento. Y aunque $\kappa$ es singular, por lo que quizás $X$ no tiene límites en $V_\kappa$ Sin embargo, tendremos $M\in V_\kappa$ ya que es lo suficientemente pequeño. Por ejemplo, $M$ tendrá menos de $\kappa$ muchos ordinales, y así $M\subseteq V_\beta$ para algunos $\beta<\kappa$ y por lo tanto $M\in V_{\beta+1}\subset V_\kappa$ .

Por cierto, este axioma, según el cual todo conjunto es un elemento de un modelo transitivo de ZFC, se ha propuesto a veces como alternativa al axioma del universo de Grothendieck, afirmando que hay un número ilimitado de cardinales inaccesibles, ya que capta gran parte de la potencia de ese axioma en sus aplicaciones, al proporcionar un concepto robusto de universo pequeño para cualquier conjunto dado, mientras que tiene una fuerza de cardinal grande considerablemente más débil. Pero para utilizar este axioma, hay que pasar de los universos de Grothendieck a los modelos transitivos de ZFC, que no necesariamente calculan correctamente el conjunto de potencias y cuya altura puede ser singular, aunque esto no sea visible internamente en el modelo.

El axioma también se ha propuesto como un ámbito natural en el que investigar la correspondiente teoría del multiverso, una versión del hiperversismo, pero con modelos inabarcables. Por esta razón, el axioma me gusta mucho. En un próximo trabajo conjunto con Øysten Linnebo, analizamos la lógica modal de esta colección de modelos, vista como un modelo de Kripke.