Estudiar las vecindades de un punto

Question

El problema:

Que sea $X=\{(x,y,z) \in \mathbb{C}^3: z^2=xy \}$ .

Demostrar que no puede existir una vecindad de $(0,0,0)$ en $X$ que es homeomorfo a $D \times D$ donde $D$ denota el disco abierto unitario de $\mathbb{C}$ .

Mi intento:

La sugerencia del ejercicio es demostrar primero que el mapa

$$p : \mathbb{C}^2 \to X$$

tal que $p(s,t)=(s^2,t^2,ts)$ induce una cobertura $p: \mathbb{C}^2-\{0\} \to X-\{0\}$ .

Lo pruebo pero no consigo utilizarlo para concluir.

Answer 1

Por contradicción, supongamos que existe $U$ barrio de $(0,0,0)\in X$ homeomorfo a $D\times D \cong \mathbb C^2$ por el mapa $\varphi:U\rightarrow \mathbb C^2$ y $\varphi(0,0,0)=(0,0)$ .

Tenemos que $U\setminus \{(0,0,0)\}$ es conexo y localmente conexo por trayectoria porque es homeomorfo a $\mathbb C^2\setminus \{(0,0,0)\}$ . De ahí la restricción: $$ p:p^{-1}(U \setminus \{(0,0,0)\}) \rightarrow U\setminus \{(0,0,0)\} $$ es una cobertura

Considera ahora la composición: $$ p^{-1}(U \setminus \{(0,0,0)\}) \xrightarrow{p} U\setminus \{(0,0,0)\} \xrightarrow{\psi \ = \ \varphi_{|_{U\setminus \{(0,0,0)\} }}} \mathbb C^2\setminus \{(0,0)\} $$ Desde $p$ es una cobertura y $\psi$ es un homeomorfismo, entonces $\psi\circ p$ es una cobertura de $\mathbb C^2\setminus \{(0,0)\}$ .

Pero $\mathbb C^2\setminus \{(0,0)\}$ está simplemente conectado y $p^{-1}(U \setminus \{(0,0,0)\})$ es un camino conectado, entonces $\psi\circ p$ es un homeomorfismo, y esto es una contradicción porque $p$ no es inyectiva en una vecindad de $(0,0)$ .