¿Se puede calcular la autocorrelación de las matrices de covarianza muestreadas por MCMC?

Question

Imaginemos que muestreamos una matriz de covarianza de una distribución de Wishart por MCMC.

En cada iteración, obtenemos una nueva matriz de muestra $S_i$ de la distribución de Wishart.

Pregunta : Dada la traza que contiene todas las muestras $S_1,...S_n$ ¿puedo trazar la autocorrelación de estas muestras?

He visto que alguien utiliza la autocorrelación de $\log(\det(S))$ pero no encontré ninguna justificación.

Answer 1

Tal y como yo lo veo, al dibujar $p \times p$ matrices $S_1, S_2, \dots S_n$ de una distribución de Wishart, realmente estás dibujando $p\cdot (p+1)/2$ variables aleatorias univariantes específicamente relacionadas en cada paso de tiempo. Es decir, sólo el $\text{vech}(S_i)$ parte de cualquier $S_i$ [ = la parte superior triangular] es aleatoria, y la simetría te da el resto. En otras palabras, la autocorrelación se define por pares para dos entradas cualesquiera del $p\cdot (p+1)/2$ -vectores dimensionales $\text{vech}(S_i)$ y $\text{vech}(S_{i-h})$ para cualquier $h>0$ . Por supuesto, esto le deja con un número posiblemente inasumible de $(p\cdot (p+1)/2)^2$ autocorrelaciones univariantes a seguir, y como las entradas de cada $\text{vech}(S_i)$ se relacionarán significativamente entre sí (véase, por ejemplo, la definición dada a través de sorteos de una normal aquí: https://en.wikipedia.org/wiki/Wishart_distribution ), bien podría imaginar que se descarta información al hacer este análisis univariante. Dicho esto, las autocorrelaciones univariadas pueden calcularse por entrada definiendo primero \begin{align} \bar{S} &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \text{vech}(S_i) \\ \bar{S_h} & = \frac{1}{n-h}\sum_{i=h+1}^n \text{vech}(S_i)\text{vech}(S_{i-h})^T. \end{align} Claramente, $\bar{S}$ es un estimador natural para la parte triangular superior de la expectativa (que puedes sustituir por la verdadera expectativa de tu distribución de Wishart si la conoces). Del mismo modo, $\bar{S}_h$ es un estimador natural del momento $\mathbb{E}(\text{vech}(S_i)\text{vech}(S_{i-h})^T)$ . Por último, señalar que \begin{align} \text{Cov}(\text{vech}(S_i)\text{vech}(S_{i-h})^T) = \mathbb{E}(\text{vech}(S_i)\text{vech}(S_{i-h})^T) - \mathbb{E}(\text{vech}(S_i))\mathbb{E}(\text{vech}(S_i))^T, \end{align} se llega a las estimaciones de autocorrelación $A(h)$ para $\text{vech}(S_i)$ a través de \begin{align} A(h) &= \bar{S}_h - \bar{S}\bar{S}^T. \end{align} Como se mencionó anteriormente, esto le da la $(p\cdot (p+1)/2)^2$ autocorrelaciones de cada entrada de la matriz Wishart con cada una de las otras entradas de la matriz Wishart. Si eso es demasiada información para mostrar, creo que una estrategia que se podría tomar sería definir la serie temporal univariante \begin{align} a(h) &= \frac{1}{(p\cdot (p+1)/2)^2}\sum_{i=1}^{(p\cdot (p+1)/2}\sum_{j=1}^{(p\cdot (p+1)/2}|A(h)_{ij}|, \end{align} es decir, simplemente se toma la media del valor absoluto de la autocorrelación. Si sólo te importan las autocorrelaciones positivas y no crees que la autocorrelación negativa sea perjudicial, entonces ahórrate el valor absoluto. Del mismo modo, si cree que la autocorrelación a lo largo de la diagonal es peor que fuera de la diagonal o al revés, podría añadir ponderaciones $w_{ij}$ que tienen en cuenta esta "función de pérdida".