Valor regular del mapa de determinantes

Question

Dejemos que $\text{det}: M_n(\mathbb{R})\rightarrow \mathbb{R}$ sea el mapa determinante de $n\times n$ matrices a $\mathbb{R}$ Entonces, ¿cómo puedo demostrar que 1 es un valor regular de este mapa? Concretamente tengo problemas para calcular la derivada de este mapa en las matrices.

Answer 1

Desde $M \mapsto \det M$ es una función de más de una variable, encontrar una fórmula para su derivada se hace mejor a través de derivadas direccionales. Vamos a denotar y calcular la derivada direccional de la función determinante en la matriz $M$ en la dirección de la matriz $N$ por \begin{align*} \partial_N\det(M) &= \left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}\det(M+tN)\\ &= \left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}(\det M)\det(I+tM^{-1}N)\\ &= (\det M)\left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}\det(I+tM^{-1}N). \end{align*} Por otro lado, \begin{align*} \det(I + tA) &= t^{n}\det(t^{-1}I + A)\\ &= t^{n}(t^{-n} + (\operatorname{tr} A)t^{-n+1} + \cdots)\\ &= 1 + t(\operatorname{tr}A) + t^2(\cdots) \end{align*} y por lo tanto, $$ \left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}\det(I + tA) = \operatorname{tr} A. $$ Sustituyendo esto en la ecuación anterior, obtenemos $$ \partial_N\det(M) = (\det M)\operatorname{tr}(M^{-1}N). $$ A partir de aquí, es sencillo comprobar que $1$ es un valor regular de la función determinante.

Answer 2

Dejemos que $M$ tal que $det(M)=1$ , escriba $M=(m_1,...,m_n)$ donde $m_i\in\mathbb{R}^n$ . considere $f(t)$ la matriz cuya primera columna es $m_1+tm_1$ y cuya columna $i$ es $m_i,i\neq 1$ . Tenemos $det(f(t))=1+t$ Esto implica que $det'_M(f'(t))=1$ deducimos que $det$ no se degrada en $M$ .