Convergencia en la distribución; ejemplo binomial

Question

Hola, espero que todo el mundo esté bien. Actualmente me cuesta ver a dónde debo llegar para esta pregunta en particular. Intentaré explicarme lo mejor posible:

Sé, conceptualmente, que se trata de una distribución binomial, y necesito demostrar que la variable aleatoria en forma estándar converge en distribución a la variable aleatoria normal estándar $Z$ . Entiendo que si se toman suficientes muestras, poco a poco convergerá en una distribución normal. Lo que no entiendo es cómo se hace esto. ¿Qué es exactamente lo que "muestro"? ¿Cómo lo haría? No puedo decir simplemente que la muestra aleatoria i.i.d. implica la convergencia en la distribución; debo demostrarlo.

También me gustaría que me explicaran cómo hacer la parte b). Mi instructor me dijo que tengo que utilizar el teorema del límite central para demostrar que converge a $0$ media y $p(1-p)$ varianza. Encontré esto explícitamente para la media haciendo $$E[\sqrt{n}(\overline{X_n}-p)] = \sqrt{n}E[p-p] = 0 $$

No aceptó eso como LA respuesta que quería.

Cualquier ayuda sería estupenda. Llevo horas buscando ejemplos. Aquí hay algunos recursos https://www.ma.imperial.ac.uk/~ayoung/m2s1/Convergencedistribution.PDF

https://www.youtube.com/watch?v=dRUm8U-r0IM

No puedo entender cómo hacer esto en papel. Sé que la respuesta está delante de mí, pero estoy perplejo. Sé que esto puede parecer un tema trivial, pero estoy en una clase de estadística de alto ritmo. No tengo mucho tiempo para aprender las cosas a fondo.

Answer 1

El teorema del límite central dice que si $X_1,X_2,\dots$ son observaciones independientes de cualquier distribución con media $\mu$ y la varianza $\sigma^2$ entonces $\frac{\bar X_n-\mu}{\sigma/\sqrt n}\rightarrow^d \mathcal N(0, 1)$ .

Si $X\sim\text{Bernoulli}(p)$ entonces $EX=p$ y $\sigma^2=p(1-p)$ y por eso el CLT dice que $\sqrt n\frac{\bar X_n-p}{\sqrt{p(1-p)}}\rightarrow ^d\mathcal N(0, 1)$ .

Para la parte b, utiliza la parte a. Por el lema de Slutkey, $\frac{\sqrt n(\bar X_n-p)}{\sqrt{p(1-p)}}\cdot \sqrt {p(1-p)}\rightarrow \mathcal N(0, 1)\sqrt {p(1-p)}=\mathcal N(0, p(1-p))$ .

Answer 2

Como señaló @Jellyfish, y como te indican explícitamente las preguntas, cada punto es una consecuencia directa de un teorema fundamental en estadística:

1. CLT
2. Slutsky
3. CMT

¿Tal vez debería revisar las declaraciones de cada uno?

Mi instructor me dijo que tengo que utilizar el teorema del límite central para demostrar que converge a 0 media y p(1p) varianza. Encontré esto explícitamente para la media haciendo...

Lo que has mostrado a continuación no demuestra la convergencia en la distribución. Es simplemente una aplicación de la linealidad de la expectativa. Para demostrar la convergencia en la distribución, tienes que demostrar la convergencia en las fdc en cada punto para el que la fdc es continua. Por supuesto, en este caso no hay que hacer nada de esto explícitamente; basta con invocar la CLT.