¿Es la norma de variación total de una medida igual a su norma como funcional acotada?

Question

Dejemos que $X$ sea un espacio topológico y sea $\mu$ sea una medida regular de Borel, con variación total finita $\| \mu \| _{TV}$ . Se puede ver $\mu$ como un funcional lineal acotado en el espacio de Banach $C_b (X)$ de las funciones continuas acotadas en $X$ como tal, tiene una norma dada por $\| \mu \| = \sup _{\| f \| = 1} \left| \int _X f \ \mathrm d \mu \right|$ .

¿Son las dos normas de $\mu$ ¿Igual?

(En particular, una respuesta afirmativa aclararía por qué la norma de variación total tiene esta definición poco intuitiva).

Answer 1

Es fácil ver que $||\mu||\le||\mu||_{TV}$ . Si $X$ es un espacio Hausdorff localmente compacto, entonces el Teorema de la Representación de Riesz dice que $$||\mu||_{TV}=\sup_{f\in C_0(X),||f||=1 }|\int f\,d\mu|\le||\mu||.$$

No tengo un contraejemplo, pero tiendo a dudar que $||\mu||_{TV}\le||\mu||$ se mantiene para un espacio topológico general; se necesita alguna hipótesis sobre $X$ para asegurar que hay "suficientes" funciones continuas...