¿Se mantiene una desigualdad tras el enraizamiento

Question

Tengo una pregunta muy sencilla pero no consigo encontrar la respuesta.
Si tengo una ecuación así

$\|z-w\|^2 \ge (\|z\|-\|w\|)^2$ , donde $z$ y $w$ son números complejos y $\|\|$ es el módulo

¿Se mantendría la desigualdad (más grande o igual) si los arraigo ambos? Así que

$\|z-w\| \ge \|z\|-\|w\|$ ¿todavía se mantiene?

Answer 1

En general, $a^2\ge b^2$ no implica $a\ge b$ . Sin embargo, si $a\ge0$ Sí, lo hace. Este es el caso.

Answer 2

Es cierto que $$0\leq a \leq b$$ implica $$\sqrt a\leq \sqrt b.$$ En tu caso deberías tener un poco más de cuidado ya que $\sqrt{(\|z\|-\|w\|)^2}=|\|z\|-\|w\||$ que puede ser $\|z\|-\|w\|$ o $\|w\|-\|z\|$ . Pero como el valor absoluto es el mayor de los dos, tu desigualdad se mantiene de todos modos.