Ideales y anillos conmutativos

Question

Tengo un problema con;

Dejemos que $R$ sea un anillo conmutativo. Demostrar para los ideales $I,J$ de $R$ que las dos condiciones siguientes son equivalentes:

(a) la función $R\to R/I\times R/J$ dado por $x\mapsto (x+I,x+J)$ es surjetivo

(b) $R=I+J.$

¿Puedo recibir alguna pista?

Answer 1

Pista: Demuestre que (a) y (b) son equivalentes a

(c) El elemento $(1,0)$ está en la imagen del mapa $R \to R/I \times R/J$ es decir, hay un elemento $x \in R$ con $x \equiv 1 \pmod I$ , $x \equiv 0 \pmod J$