Mi pregunta proviene de una derivación dada en el capítulo 12 de la obra de R. McWeeny Métodos de la mecánica cuántica molecular para la resolución de ecuaciones de respuesta lineal a través de la teoría variacional de perturbaciones. ( Funciones de correlación de respuesta lineal para un poco más de contexto).
Mi problema proviene de una extraña elección que hace el autor al definir la parte de la perturbación del hamiltoniano. Escriben la perturbación como $\mathbf{H}'(t)=F(t)\mathbf{A}$ donde describen $F(t)$ como una función de fuerza dependiente del tiempo y $A$ como una especie de función de forma para la perturbación.
A continuación, expresa el hamiltoniano mediante una transformada de Fourier como $$\mathbf{H}'(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(\omega)\frac{1}{2}(\mathbf{A}_\omega e^{-i\omega t}+\mathbf{A}_{-\omega} e^{i\omega t}) d\omega$$ con $\mathbf{A}=\frac{1}{2}(\mathbf{A}_\omega+\mathbf{A}_{-\omega})$ , suponiendo que $\mathbf{A}_{-\omega}=\mathbf{A}^\dagger_\omega$ y $f(\omega)=f(-\omega)$ con $f(\omega)$ la transformada de Fourier de $F(t)$ .
Ahora es cuando me confundo. Él pasa a definir $\mathbf{H}'(\omega)=\frac{1}{2}(\mathbf{A}_\omega e^{-i\omega t}+\mathbf{A}_{-\omega}e^{i\omega t})$ . Para mí la notación ya es bastante engañosa, ya que parece implicar que se trata de la Transformada de Fourier de $\mathbf{H}'$ pero también sustituye directamente los casos de $\mathbf{H}'(t)$ con $\mathbf{H}'(\omega)$ para resolverlos. Por ejemplo, da una expresión inicial para los coeficientes de primer orden de la función de onda perturbada como $$c_n(t)=\frac{1}{i\hbar}\int_{-\infty}^t \left<n|\mathbf{A}|0\right> F(t')\exp(i\omega_{0n}t')dt'$$ Luego, en la página siguiente, da otra expresión sustituyendo $\mathbf{H}'(\omega)$ (con un factor de convergencia $\epsilon$ también introducido): $$c_n(t)=-\frac{1}{2\hbar}\big[\frac{\left<n|\mathbf{A}|0\right>}{\omega_{0n}-\omega-i\epsilon}\exp(i(\omega_{0n}-\omega-i\epsilon))+(\omega\to -\omega)\big]$$
Cuál sería la expresión obtenida si $\mathbf{H}'(\omega)$ sustituido directamente $\mathbf{H}'(t)$ . Inicialmente había pasado por alto esta sección porque no tenía mucha relación con las secciones posteriores, pero este uso de $\mathbf{H}'(\omega)$ ha vuelto a surgir y todavía no sé cómo/por qué se utiliza.
¿Hay alguna explicación de lo que hace el autor con este factor o si hay algún error en las fórmulas? Mi suposición era que tal vez la segunda expresión de los coeficientes debería ser una función de $\omega$ en lugar de tiempo, pero no puedo confirmar con certeza si eso tiene sentido.
Buscando en Internet, encontré otro uso de este formato, aunque parece que posiblemente se deriva de mi fuente. ¿Alguien más se ha encontrado con esto antes?
