Es $C[0,1]$ normal con la topología de la convergencia puntual?

Question

El otro día alguien me hizo una pregunta sobre la topología de la convergencia puntual, y parece que no consigo llegar a nada con ella. Me preguntaba si alguien podría ayudarme...

La pregunta era: ¿es $C[0,1]$ el conjunto de funciones continuas de valor real de $[0,1]$ a $\mathbb{R}$ con la topología de convergencia puntual (definida por la sub-base $A_{a,x,b} :=\{f\in C[0,1] : a< f(x) < b\}$ para $x \in [0,1]$ y $a<b \in \mathbb{R}$ ) un espacio topológico normal?

Wikipedia sugiere que $C(\mathbb{R})$ es no normal, por lo que he tratado de mostrar esto como punto de partida, y luego trabajar si el mismo argumento se mantiene o falla cuando restringimos a $[0,1]$ pero tampoco puedo llegar a ninguna parte con esto.

Mi instinto me dice que $C[0,1]$ no es normal, y tengo una intuición bastante vaga de por qué, pero no puedo precisar nada en absoluto y me he dado un poco de dolor de cabeza.

¿Podría alguien indicarme una buena pista o referencia, por favor? La pregunta es bastante interesante así que prefiero intentar terminarla yo mismo a que me den una solución completa.

Gracias.

Answer 1

Dejemos que $\mathscr{B}=\{B_n:n\in\omega\}$ sea una base contable para $[0,1]$ . Para $m,n\in\omega$ dejar $$F(m,n)=\{f\in C_p[0,1]:f[B_m]\subseteq B_n\}\;.$$ Dejemos que $\mathscr{F}_0=\{F(m,n):m,n\in\omega\}$ y que $\mathscr{F}=\{\bigcap\mathscr{A}:\mathscr{A}\subseteq\mathscr{F}_0\text{ and }|\mathscr{A}|<\omega\}$ ; tenga en cuenta que $\mathscr{F}$ es contable.

Supongamos que $U$ es un subconjunto abierto de $C_p[0,1]$ y $f\in U$ . Entonces, para un número finito de $\{x_1,\dots,x_n\}\subseteq[0,1]$ y $B_{k_1},\dots,B_{k_n}\in\mathscr{B}$ tenemos

$$f\in\Big\{g\in C_p[0,1]:g(x_i)\in B_{k_i}\text{ for }i=1,\dots,n\Big\}\subseteq U\;.$$

Desde $f$ es continua, para cada $i=1,\dots,n$ hay un $B_{j_i}\in\mathscr{B}$ tal que $x_i\in B_{j_i}$ y $f[B_{j_i}]\subseteq B_{k_i}$ es decir, $f\in F(j_i,k_i)$ claramente

$$f\in\bigcap_{i=1}^nF(j_i,k_i)\subseteq\Big\{g\in C_p[0,1]:g(x_i)\in B_{k_i}\text{ for }i=1,\dots,n\Big\}\subseteq U\;,$$ donde $$\bigcap_{i=1}^nF(j_i,k_i)\in\mathscr{F}\;,$$ así que $\mathscr{F}$ es un contable red para $C_p[0,1]$ .

Esto es suficiente para asegurar que $C_p[0,1]$ es Lindelöf. Para ver esto, dejemos $\mathscr{U}$ sea una cubierta abierta de $C_p[0,1]$ . Para cada $f\in C_p[0,1]$ hay un $U_f\in\mathscr{U}$ y un $F_f\in\mathscr{F}$ tal que $f\in F_f\subseteq U_f$ . Sea $$\mathscr{F}_\mathscr{U}=\Big\{F_f:f\in C_p[0,1]\Big\}\;,$$ y para cada $F\in\mathscr{F}_\mathscr{U}$ elija $U_F\in\mathscr{U}$ tal que $F\subseteq U_F$ ; $\mathscr{F}_\mathscr{U}$ es contable, por lo que $\{U_F:F\in\mathscr{F}_\mathscr{U}\}$ es una subcubierta contable de $\mathscr{U}$ .

Finalmente, $C_p[0,1]$ es ciertamente $T_3$ y un Lindelöf $T_3$ -el espacio es normal, así que $C_p[0,1]$ es normal.