¿Cómo puedo encontrar la función característica en esta pregunta?

Question

Esta es una pregunta de mi lista universitaria:

Dejemos que $\{x_1, x_2, \ldots, x_n\}$ sean variables aleatorias estadísticamente independientes e idénticamente distribuidas, cada una con una función de densidad de probabilidad exponencial de parámetro $1$ Es decir: $$ p_{x_i} (X)=a \cdot e^{-aX} u(X) \quad ,\,i=1,2,\ldots $$

Dejemos que $n$ sea una variable aleatoria discreta estadísticamente independiente de cada $x_i$ con una función de densidad de probabilidad dada por $$ p_n (N)=\sum_{k=0}^\infty\frac{e^{-1}}{k!} (N-k). $$

Establecer la variable aleatoria $$ y = \sum_{i=1}^n x_i $$ donde, por definición, $y = 0$ si $n = 0$ . Determina:

a) la función característica $M_y(v)$ ;

Sin embargo, no puedo resolver este problema, he encontrado esta solución:

$$M_y = \frac{1}{(a-j \cdot v)^{n}}$$

No sé cómo eliminar la variable aleatoria " $n$ " de la ecuación y obtener una expresión que sólo depende de v(My(v)). ¿Podría alguien ayudarme a completar la resolución de este problema?

Answer 1

Utilice la definición de la función característica y separe las instancias de los valores de las expectativas para $n$ y $x_i$ para obtener:

$$M_y(v)=\mathbb{E}[e^{ivy}]=\mathbb{E}[e^{iv\sum_{i=1}^{n}{x_i}}]=\mathbb{E_n[E_{x_i}}[\prod_{i=1}^ne^{iv{x_i}}]]=\mathbb{E}_n[(\mathbb{E_x}[e^{ivx}])^n]$$

Sin embargo,

$$M_x(v)=\mathbb{E}[e^{ivx}]=\int_{0}^{\infty}e^{ivx}ae^{-ax}dx=\frac{a}{a-iv}$$

y ahora todo lo que queda es calcular la expectativa sobre el espacio de estados del $n$ variable:

$$\begin{align}\mathbb{E}_n[(M_x(v))^n]&=\sum_{N=0}^{\infty}(M_x(v))^N\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{ek!}\delta(N-k)\\&=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{ek!}\sum_{k=0}^{\infty}(M_x(v))^N\delta(N-k)\\ &=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{e}\frac{(M_x(v))^k}{k!}\\&=e^{M_x(v)-1}\end{align}$$

y por lo tanto encontramos que

$$M_y(v)=\exp\Big(\frac{iv}{a-iv}\Big)$$

EDIT: Explicación de la primera línea

Tenga en cuenta que las variables $x_1,...,x_n,n$ son independientes. Esto nos permite construir la distribución de probabilidad conjunta

$$f(X_1,..., X_N,N)=p_n(N)\prod_{i=1}^N p_{x_i}(X_i)$$

Podemos ver fácilmente que se trata de una distribución ya que trivialmente

$$\sum_{N=0}^{\infty}\int~\prod_{i=1}^N ~dX_i~f(X_1,..,X_N,N)=1$$

En efecto, es una distribución de aspecto curioso, porque su espacio de estados varía con $N$ y, por tanto, ¡hay que elegir primero esa variable! Sin embargo, con esta expresión podemos calcular los valores de las expectativas como la función característica:

$$M_y(v)=\sum_{N=0}^{\infty}p_n(N)\prod_{i=1}^N dX_i \exp(iv\sum_{k=1}^N X_k)f(\{X_i\},N)=\mathbb{E}_N[\mathbb{E}_{\{x_i\}}[e^{iv\sum x_i}]]\\=\sum_{N=0}^{\infty}p_n(N)\Big(\int_{0}^{\infty} dXe^{itX}p_x(X)\Big)^N=\mathbb{E}_N[(M_x(v))^N]$$

La razón por la que la primera línea de la ecuación anterior es cierta es esencialmente porque podemos sacar $p_n(N)$ porque las variables son independientes, y ver lo que queda como un valor de expectativa tomado sobre el resto de las variables.