Prueba de Neyman-Pearson

Question

Supongamos que $X$ es una variable aleatoria y dos hipótesis definidas como

$$H_0:f(x;\lambda_{0}) = \lambda_0 \exp(\lambda_0 x)$$ $$H_1:f(x;\lambda_{1})$$ $$x \geq 0 \quad \text{and} \quad \lambda_1>\lambda_0$$

Mi pregunta es que ¿cómo podemos hacer una prueba Neyman-Pearson para eso?

Answer 1

Supongamos que tenemos $x_{1}...x_{n}\underset{iid}{\sim}exp\left(\lambda\right)$ muestras donde $\lambda$ es desconocido.
Queremos probar la sencilla hipótesis $H_{0}:\,\,\lambda=\lambda_{0}$ frente a la alternativa simple $H_{1}:\,\,\lambda=\lambda_{1}$ entonces por el lema de Neyman-Pearson aseguramos que la prueba $\mathbb{P}\left(T\left(x\right)>c\,|\,\lambda_{0}\right)=\alpha$ es la prueba más potente en la que $T\left(x\right)=\frac{L\left(x,\lambda_{1}\right)}{L\left(x,\lambda_{0}\right)}=\frac{\prod_{i=1}^{n}\lambda_{1}e^{-\lambda_{1}x_{i}}}{\prod_{i=1}^{n}\lambda_{0}e^{-\lambda_{0}x_{i}}}$ .

A partir de ahora es sólo álgebra (tendrás que usar log en algún momento), pero al final quieres una función de $x_i$ en un lado de la desigualdad y una constante en el otro. Al final obtendrás $\sum_{i=1}^{n}x_{i}<c^{'''}$ lo que significa que su estadística de prueba tiene la distribución de $Gamma\left(n,\lambda\right)$ .