Suma de los cuadrados de los determinantes de los menores principales

Question

Me interesa calcular la suma de cuadrados de los determinantes de los menores principales. Sea $A$ ser un $n\times n$ matriz semidefinida positiva y $A_S$ ser un menor de edad principal de $A$ indexado por el conjunto $S \subseteq \{1,\ldots,n\}$ . El resultado clásico (sin cuadrados) es:

$\sum_{S \subseteq \{1,\ldots,n\}} \det(A_S) = \det(A+I)$

¿Existen resultados sobre la computación

$\sum_{S \subseteq \{1,\ldots,n\}} \det^2(A_S)$

o cualquier otro poder?

Answer 1

La identidad que mencionas sí se generaliza a sumas de potencias, pero no sé si puede dar algo computacionalmente eficiente. Dado un conjunto $X\subset \mathbb R$ , dejemos que $D(X^n)$ denotan todos $n\times n$ matrices diagonales con elementos diagonales de $X$ . Entonces, si usted toma $X_k=\{1,\omega,\cdots,\omega^{k-1}\}$ el $k$ -raíces de la unidad, se cumple lo siguiente $$\sum_{S\subset \{1,2,\cdots,n\}}\det(A_S)^k=\frac{1}{k^n}\sum_{M\in D(X^n)}\det(A+M)^k$$ la prueba es básicamente la misma que la del caso $k=1$ con algunas manipulaciones algebraicas más.