Paso en la demostración de Stein del Teorema de Plancherel

Question

Estoy leyendo el Análisis de Fourier de Stein, y me confunde la demostración del teorema de Plancherel.

Si $f \in \mathcal S(\mathbb R)$ entonces $||f|| = ||\hat{f}||$ .

La norma aquí se define en el $L^2$ sentido. La prueba es así.

Si $f \in \mathcal S(\mathbb R)$ , defina $g(x) = \overline{f(-x)}$ . Entonces $\hat g(\xi) = \overline{\hat f(\xi)}$ . Sea $h = f*g$ . Entonces $\hat h = \hat f \hat g = |\hat f|^2$ y $\displaystyle h(0) = \int f(-t)g(t) dt = \int f(-t)\overline{f(-t)} dt = \int|f|^2$ . Aplicar la fórmula de inversión de Fourier, y obtener $\displaystyle h(0) = \int \hat h(\xi) d\xi$ . Así, $\displaystyle\int |\hat f|^2 = \int \hat h = h(0) = \int |f|^2$ .

Entiendo todos los pasos de esta prueba excepto la setencia $\hat g(\xi) = \overline{\hat f(\xi)}$ . Intento expandir esta cosa, y conseguir

$\displaystyle \hat g(\xi) = \int g(x)e^{-2i\pi x\xi} dx = \int \overline{f(-x)}e^{-2i\pi x\xi} dx = -\int \overline{f(u)}e^{2i\pi u\xi}du = -\overline{\hat f(\xi)}$ ,

lo que haría que todo lo que viene después de esto tenga un signo menos. ¿Podría alguien decirme qué ha fallado en mi argumento?

Answer 1

Su igualdad $$\int \overline{f(-x)}e^{-2i\pi x\xi} dx = -\int \overline{f(u)}e^{2i\pi u\xi}du$$ está mal porque simplemente se olvidó de "intercambiar" los límites: $$\int_{-\infty}^{\infty} \overline{f(-x)}e^{-2i\pi x\xi} dx = -\int_{+\infty}^{-\infty} \overline{f(u)}e^{2i\pi u\xi}du = \int_{-\infty}^{+\infty} \overline{f(u)}e^{2i\pi u\xi}du $$