$$\sum_{k=1}^{n}\left \lfloor \log _{m}k \right \rfloor$$ $$\sum_{k=1}^{n}\left \lceil \log_{m}k\right \rceil$$ Me he quedado atascado intentando resolver estas dos sumas pero no consigo avanzar. ¿Alguna idea?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
La clave del primer problema es observar que $\left\lfloor\log_mk\right\rfloor=\ell$ si y sólo si $\ell\le\log_mk<\ell+1$ que es verdadera si y sólo si $m^\ell\le k<m^{\ell+1}$ . Hay $m^{\ell+1}-m^\ell=m^\ell(m-1)$ enteros $k$ en este rango, y cada uno de ellos contribuye $\ell$ a la suma, por lo que si $m^{\ell+1}\le n$ este intervalo contribuye $\ell(m-1)m^\ell$ al total.
Dejemos que $L=\lfloor\log_mn\rfloor-1$ para $\ell=1,\ldots,L$ tenemos $m^{\ell+1}\le n$ por lo que estos intervalos aportan un total de
$$(m-1)\sum_{\ell=1}^L\ell m^\ell\tag{1}$$
a la suma. Esta respuesta muestra una manera de derivar una forma cerrada para $(1)$ . Entonces sólo queda añadir la contribución de
$$\sum_{k=m^{L+1}}^n\lfloor\log_mk\rfloor=\left(n-m^{L+1}+1\right)\lfloor\log_mn\rfloor\;.$$
El segundo problema puede hacerse de forma similar.
