Resolver un límite que se aproxima a cero con un denominador complejo

Question

Nos han dado la definición de un derivado como:

$$f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

Se nos pide que usemos esto para encontrar la derivada de la función $f(x)=\frac{1}{1-x}$ mostrando cada paso.

Puedo llegar hasta aquí: $$f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{1}{h-hx-h^2}-\frac{1}{h-hx}$$

Cuando intento utilizar los solucionadores de ecuaciones en línea, éstos saltan directamente a la respuesta y no puedo averiguar cómo. La solución paso a paso de Wolfram Alpha tampoco me da ningún paso intermedio entre esta y la solución:

$$\frac{1}{(x-1)^2}$$

Entonces, mi pregunta es, ¿cómo resuelvo un límite como el anterior donde cada valor del denominador se acerca a 0?

(Supongo que me faltan algunos trucos algebraicos)

Answer 1

Una pista: Lleva la expresión que tienes a un denominador común. Habrá una agradable cancelación.

Observación: Habría facilitado la vida si hubiera mantenido el $h$ "fuera", es decir, mirado $$\frac{1}{h}\left(\frac{1}{1-x-h} -\frac{1}{1-x}\right).$$ Entonces la misma pista del denominador común, algo menos desordenada.

Answer 2

$$\dfrac{\dfrac1{(1-x-h)} - \dfrac1{(1-x)}}{h} = \dfrac{\dfrac{(1-x) - (1-x-h)}{(1-x)(1-x-h)}}{h} = \dfrac{h}{h(1-x)(1-x-h)} = \dfrac1{(1-x)(1-x-h)}$$ Ahora aplica el límite.