Los números ordinales están a su vez bien ordenados. Esto llevaría a la paradoja de Burali-Forte, excepto que lo evitamos diciendo que los ordinales son una "clase" y no un "conjunto".
Me pregunto si existe un enfoque alternativo con axiomas antifundamentales.
Dentro de estas teorías de conjuntos, ¿es posible que el conjunto de todos los ordinales exista realmente, como un conjunto verdadero?
La razón por la que lo pregunto es que con la paradoja ordinaria de Burali-Forti, el conjunto de todos los ordinales no puede existir, o de lo contrario tendría que contenerse a sí mismo y, por tanto, definir un nuevo ordinal. Pero si se permiten los conjuntos mal fundados, no hay ningún problema con que el conjunto de ordinales se contenga a sí mismo.
Me estoy imaginando una estructura en la que, al definir los ordinales, todo está bien ordenado, bien fundamentado, etc. Entonces, sólo en la parte superior, cuando quieres mirar el conjunto de todos los ordinales, este conjunto resulta contenerse a sí mismo y estar mal fundado, y por lo tanto no definir un nuevo ordinal. Pero no estoy seguro de que entonces surja otra paradoja.
