Integración por partes de un funcional con un multiplicador de Lagrange

Question

Estoy considerando una integral dada en Synge (p. 27). Esta integral es,

$$ J = \int (y_i dx^i - \lambda(u) \omega du) $$

donde $\lambda$ es un multiplicador de Lagrange, y $u$ es algún parámetro.

En el texto se dice entonces,

Aplicando una variación e integrando por partes, obtenemos

$$ \delta J = [y_i \delta x^i] + \int (\delta y_i dx^i - \delta x^i dy_i - \omega \delta \lambda du - \lambda \frac{\partial \omega}{\partial x^i} \delta x^i du - \lambda \frac{\partial \omega}{\partial y_i} \delta y_i du)$$

¿Alguien puede aclarar a qué se debe esto? Entiendo la integración por partes (¡o eso creía!) pero no puedo reproducir este resultado.

Answer 1

Están aplicando la integración por partes al término $\int y_i\, \delta \mathrm dx^i$ . Es así: $$ y_i\, \delta \mathrm dx^i = y_i\, \mathrm d\delta x^i = \mathrm d\left( y_i \delta x^i \right) - \delta x^i \mathrm dy_i \;. $$

El término en el que se integra sobre una diferencial total da la contribución del límite, $$ \int \mathrm d\left( y_i \delta x^i \right) = \left[ y_i \delta x^i \right] \;, $$ comparar con el teorema fundamental del cálculo $$ \int_a^b \frac{\mathrm df}{\mathrm dx}\, \mathrm dx = \int_{f(a)}^{f(b)} \mathrm df = \left. f \right|_a^b \;. $$