¿Qué regla se utiliza para calcular $\cos(n \cdot \pi)\cdot\cos(m \cdot \pi)$

Question

Puedo imaginarme cómo calcularías el producto de los cosenos de $\pi$ cuando no hay coeficientes para obtener $1$ (trivialmente). Sin embargo, no puedo entender qué regla se utiliza/cómo se llega a $(-1)^{(n+m)}$ ya que cuando tenemos dos coeficientes diferentes de $\pi$ , a saber $n$ y $m$ .

Answer 1

Tenemos que

• $\cos(n \cdot \pi)=1$ para $n$ incluso
• $\cos(n \cdot \pi)=-1$ para $n$ impar

es decir

• $\cos(n \cdot \pi)=(-1)^n$

así

$$\cos(n \cdot \pi)\cdot \cos(m \cdot \pi)=(-1)^n(-1)^m=(-1)^{n+m}$$

Answer 2

La función coseno tiene periodo $2\pi$ : $\cos(x+2\pi)=\cos x$ para todos $x$ . Por lo tanto, $$1=\cos0=\cos2\pi=\cos4\pi=\cdots$$ y $$-1=\cos\pi=\cos3\pi=\cos5\pi=\cdots.$$ Entonces $\cos n\pi=1$ cuando $n$ es par, y $\cos n\pi=-1$ si $n$ es impar.

En resumen, $\cos n\pi=(-1)^n$ para los enteros $n$ .

Answer 3

$\cos \pi = -1$ y $\cos 2 \pi = 1$ . Lo que significa que cada múltiplo impar de $\pi$ da $-1$ como el valor de $\cos$ y cada múltiplo par de $\pi$ da el valor $1$ . Así, en general, escribimos

$$\cos n \pi = \left( -1 \right)^n$$

que resuelve el problema de $n$ empezar a impar o incluso. Por lo tanto, en su pregunta, lo que tenemos es

$$\cos m \pi \cdot \cos n \pi = \left( -1 \right)^m \cdot \left( -1 \right)^n = \left( -1 \right)^{n + m}$$