Utilice la deducción formal para la lógica de predicados para demostrar que el siguiente argumento es válido:

Question

Premisa 1: $\forall x \forall y [((A(x)\land A(y)\land \neg I(x,y))\to (R(x,y)\lor R(y,x))]$

premisa 2: $\forall x (B(x)\to A(x))$

conclusión: $\forall x \forall y [(B(x)\land B(y)\land \neg I(x,y))\to (R(x,y)\lor R(y,x))]$

Puede utilizar cualquiera de las 17 reglas de deducción formal para la lógica de predicados. Indique claramente qué reglas o teoremas demostrados de la deducción formal utiliza.

Existen 17 reglas de deducción formal para la lógica de predicados:

Llevo bastante tiempo trabajando en esta cuestión, realmente necesito ayuda.

¡Muchas gracias!

Answer 1

En este problema, "todo lo que tenemos que hacer" es girar el $A$ s en $B$ s en la premisa 1, utilizando la premisa 2. Por supuesto, incluso las ideas más simples parecen bastante complicadas en las pruebas formales.

Aquí tienes una motivación para descubrir esta prueba: Para acceder a esas $A$ s, necesitamos "deconstruir" la premisa 1, y luego "reconstruirla". Así que tendremos que aplicar $\forall-$ , $\rightarrow-$ y $\land-$ en la primera mitad de la prueba, y luego $\land+$ , $\rightarrow+$ y $\forall+$ en la segunda mitad de la prueba. La regla $\rightarrow+$ requiere una hipótesis adicional en el lado izquierdo del torniquete $\vdash$ por lo que tenemos la idea de hacer una suposición extra desde el principio, para ser descargada por $\rightarrow-$ más tarde.

Vamos a escribir $\Sigma$ para sus dos locales y $\Sigma' = \Sigma,B(a)\land B(b)\land \lnot I(a,b)$ , donde $a$ y $b$ son variables distintas de $x$ y $y$ . Obsérvese que por Ref y $+$ tenemos $\Delta\vdash A$ para cualquier fórmula $A$ que aparece en $\Delta$ . Entonces:

1. $\Sigma'\vdash \forall x\, \forall y\, [(A(x)\land A(y)\land \lnot I(x,y))\rightarrow (R(x,y)\lor R(y,x))]\quad$ por Ref y $+$ (premisa 1)
2. $\Sigma'\vdash \forall y\, [(A(a)\land A(y)\land \lnot I(a,y))\rightarrow (R(a,y)\lor R(y,a))]\quad$ por $\forall-$ de 1.
3. $\Sigma'\vdash (A(a)\land A(b)\land \lnot I(a,b))\rightarrow (R(a,b)\lor R(b,a))\quad$ por $\forall-$ de 2.
4. $\Sigma'\vdash \forall x\, (B(x)\rightarrow A(x))\quad $ por Ref y $+$ (premisa 2)
5. $\Sigma'\vdash B(a)\rightarrow A(a)\quad $ por $\forall-$ de 4.
6. $\Sigma'\vdash B(b)\rightarrow A(b)\quad $ por $\forall-$ de 4.
7. $\Sigma'\vdash B(a)\land B(b)\land \lnot I(a,b)\quad$ por Ref y $+$ (premisa 3 en $\Sigma'$ )
8. $\Sigma'\vdash B(a)\quad$ por $\land-$ de 7.
9. $\Sigma'\vdash B(b)\quad$ por $\land-$ de 7.
10. $\Sigma'\vdash \lnot I(a,b)\quad$ por $\land-$ de 7.
11. $\Sigma'\vdash A(a)\quad$ por $\rightarrow-$ de 5. y 8.
12. $\Sigma'\vdash A(a)\quad$ por $\rightarrow-$ de 6. y 9.
13. $\Sigma'\vdash A(a)\land A(b)\land \lnot I(a,b)\quad$ por $\land+$ de 11. y 12. y 10.
14. $\Sigma'\vdash (R(a,b)\lor R(b,a)) \quad$ por $\rightarrow-$ de 3. y 13.
15. $\Sigma\vdash (B(a)\land B(b)\land \lnot I(a,b))\rightarrow (R(a,b)\lor R(b,a))\quad$ por $\rightarrow +$ de 14.
16. $\Sigma\vdash \forall y\, [(B(a)\land B(y)\land \lnot I(a,y))\rightarrow (R(a,y)\lor R(y,a))]\quad$ por $\forall +$ de 15.
17. $\Sigma\vdash \forall x\, \forall y\, [(B(x)\land B(y)\land \lnot I(x,y))\rightarrow (R(x,y)\lor R(y,x))]\quad$ por $\forall +$ de 16.