¿Por qué es $dL = L d\epsilon$ ?

Question

Digamos que hay un material elástico al azar. Su longitud es $L$ y es la tensión de tracción $\epsilon= (L-L_0)/L_0$ Ahora bien, cuando se tira de él se cumple lo siguiente: $dW_{tot}=FdL =\sigma AdL=\sigma A L d\epsilon$

Por qué podemos dar ese último paso o en otras palabras: por qué es $dL = L d\epsilon$ ?

Answer 1

A partir de la definición anterior para la tensión de tracción, $L$ es $L=\epsilon L_{0}+L_{0}$ . Así,

$dL=L_{0}d\epsilon$

sustituyendo en lo anterior $L_{0}$ con $L_{0}=\frac{L}{1+\epsilon}$ se obtiene

$dL=\frac{L}{1+\epsilon}d\epsilon$

Ahora bien, si la deformación del material es muy pequeña se puede expandir $\frac{1}{1+\epsilon}$ como

$\frac{1}{1+\epsilon}=1-O(\epsilon)$

Por lo tanto, se encuentra que $dL=Ld\epsilon$

EDITAR:

El último paso es posible porque la serie para $\frac{1}{1+\epsilon}$ para $|\epsilon|<1$ es $1-\epsilon +\epsilon^{2}-\epsilon^{3}+\dots$ . Desde $|\epsilon|<1$ se encuentra la condición para $L/L_{0}$ en el que se puede utilizar esta expansión.