Bundle Gerbes como clases características

Question

Quizás sea un poco ingenuo, pero me preguntaba si es posible (al menos formalmente) representar Paquete Gerbes como clases características. Descargo de responsabilidad: Mi conocimiento de Bundle Gerbes se limita a este papel de Hitchin así que quizás no estoy pensando en esto correctamente. Sólo como referencia, un Bundle Gerbe se define especificando una tapa abierta $\{U_i\}$ de un colector $M$ que tiene asociados los mapas $g_{ijk} : U_i \cap U_j \cap U_k \rightarrow S^1$ que satisfacen ciertas condiciones de tipo cociclo, $g_{jkl} g_{ikl}^{-1} g_{ijl} g^{-1}_{ijk}$ . Se pueden definir estructuras conectivas con $3$ -formar curvaturas $H$ en los Bundle Gerbes que definen los haces de círculos de principio en el Espacio de Bucles de $M$ (Véase Hitchin, página 4). Estas estructuras conectivas se clasifican por sus curvaturas, $[H / 2\pi] \in H^3(M,\mathbb{Z})$ al igual que la curvatura $2$ -de un haz de líneas genera la primera clase de Chern. Explícitamente, mi pregunta es la siguiente:

¿Podemos ampliar la definición de un haz de gérmenes en una variedad $M$ a un grupo de Lie compacto y finito arbitrario $G$ considerando que un Bundle Gerbe es en cambio el conjunto de mapas $g_{ijk} : U_i \cap U_j \cap U_k \rightarrow G$ ? Si $\dim G = n$ , lo hará $H^{n}(M,\mathbb{Z})$ clasificar el Principio $G$ -fondos en $\Omega M$ ?

De nuevo, mi comprensión de los gerbos es bastante insuficiente, así que quizás esto sea "obvio" en alguna otra literatura. Si es así, ¿podría citar una referencia?

Gracias.

PD: No estoy seguro de que la compacidad sea realmente necesaria, sólo la he añadido con la esperanza de que sea más probable en el caso compacto

Answer 1

El hecho de que se trate de compacto y/o de dimensiones finitas Los grupos de mentiras son completamente irrelevantes. El hecho de que estos grupos sean Mentira también es parcialmente irrelevante (a no ser que te preocupes por poner conexiones en tus gerbos de paquetes, en cuyo caso se vuelve muy relevante). Más relevante es si los grupos abeliano o no. A priori, la relación de coyuntura sólo tiene sentido para los grupos abelianos.

Pero también hay una teoría de los gerbos (haces) no abelianos, donde se permiten grupos no abelianos. Los cociclos tienen dos tipos de datos: Los mapas
$\alpha_{ij}:U_i\cap U_j\to \mathrm{Inn}(G)$ y mapas
$g_{ijk}:U_i\cap U_j\cap U_k \to G$ ,
donde $\mathrm{Inn}(G)$ denota el grupo de automorfismos internos de $G$ .

Estos gerbos no abelianos se clasifican por $H^2(-,Z(G))$ el segundo grupo de cohomología de Cech con coeficientes en la gavilla de $Z(G)$ -funciones valoradas. [es un teorema no trivial]

Ese fue el caso de un banda trivial .

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A banda es lo mismo que un $\mathrm{Out}(G)$ -bundle principal. Digamos que se le da un $\mathrm{Out}(G)$ paquete principal $P$ descrito por las funciones de transición $b_{ij}:U_i\cap U_j\to \mathrm{Out}(G)$ . Entonces se puede retorcer la definición anterior de la siguiente manera: Los cociclos consisten ahora en los mapas
$\alpha_{ij}:U_i\cap U_j\to \mathrm{Aut}(G)$ y mapas
$g_{ijk}:U_i\cap U_j\cap U_k \to G$ ,
donde el $\alpha_{ij}$ son elevaciones de la $b_{ij}$ .

Los gerbos con banda $P$ se clasifican por un conjunto que es ♦ vacío, o ♦ isomorfo a $H^2(-,Z(G)\times_{\mathrm{Out}(G)} P)$ el segundo grupo de cohomología de Cech con coeficientes en la gavilla de secciones de $Z(G)\times_{\mathrm{Out}(G)} P$ .

Que ese conjunto esté o no vacío depende del valor de una clase de obstrucción que vive en $H^3(-,Z(G)\times_{\mathrm{Out}(G)} P)$ . Es no vacía si esa obstrucción desaparece.

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Por último, para responder a su última pregunta. Si $G$ es un grupo de Lie y se tiene un haz gerencial con conexión (trivializado sobre el punto base), entonces se obtiene un $G$ -principal, pero sólo en un subespacio del espacio de bucle basado $\Omega M$ . Es el subespacio formado por los bucles sobre los que la banda $P$ y su conexión se trivializan.