Tres lados de un triángulo - encontrar la ley general (polya)

Question

Los lados del árbol de un triángulo son de longitudes $l$ , $m$ y $n$ respectivamente. Los números $l, m,$ y $n$ son enteros positivos.

$l \le m \le n$

Encuentra el número de triángulos diferentes del tipo descrito para un "n" dado. ( Toma $n = 1, 2, 3, 4, 5, ..., n)$
Encuentre una ley general que gobierne la dependencia del número de triángulos en $n$ .
de Matemáticas y Razonamiento Plausible .
lo que encuentro es :
si escribo la secuencia de tres
1- n . (n)
2-número de todas las posibilidades de l y m para cada n .(P)
3- número de triángulos posibles que podemos construir según la iniquidad del triángulo. (T) es $p = (1,2,6,10,15,21,28,26,45,55,...)$
$T= (1,2,4,6,9,12,16,20,25,30,36,42,...)$
$n= (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11)$ algunas observaciones sobre esta secuencia
1- para $P$ :
* está aumentando en n
* $P_n$ - $T_n-1$ = $T_n$
tal que $P_n$ = (número de valores posibles para l y m para tal n )
$T_n$ = número de triángulos posibles para n
2- Para $T$ $1,1+1,2+2,2+2+2,2+2+2+3,2+2+2+3+3,2+2+2+3+3+4,2+2+2+3+3+4+4,2+2+2+3+3+4+4+5,2+2+2+3+3+4+4+5+5,...$ ¿Cómo puedo derivar la ley general?

Answer 1

Por la desigualdad del triángulo, para $l,m,n$ para hacer un triángulo, $l+m>n$ .

Fijar $n$ y $m$ entonces sabemos que $n+1-m\leq l\leq m$ . Si $n+1-m\leq m$ entonces $\frac{n+1}{2}\leq m$ y estas restricciones no están vacías.

En este caso, hay $m-(n+1-m)+1=2m-n$ valores posibles para $l$ . Ahora, tenemos dos casos:

• Si $n$ es impar, entonces $\frac{n+1}{2}$ es un número natural, por lo que necesitamos $$\begin{align*} \sum_{m=\frac{n+1}{2}}^n(2m-n)&=2\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)-2\left(\frac{\frac{n-1}{2}\cdot\frac{n+1}{2}}{2}\right)-n\left(n-\frac{n-1}{2}\right)\\ &=n(n+1)-\frac{1}{4}(n^2-1)-\frac{1}{2}n(n+1)\\ &=(n+1)\left(\frac{1}{2}n-\frac{1}{4}(n-1)\right)\\ &=\frac{1}{4}(n+1)^2 \end{align*}$$

• Si $n$ es impar, entonces $\frac{n+1}{2}$ no es un número natural, por lo que $\frac{n+1}{2}\leq m$ se reduce a $\frac{n}{2}+1\leq m$ . Dejaré el resto de la derivación como un ejercicio en este punto.