Prueba de equivalencia de fórmulas de matemáticas discretas

Question

¿Cómo puedo demostrar que las dos afirmaciones siguientes son equivalentes, utilizando las leyes de equivalencia de las fórmulas?

f(x) and (g(x) and h(x)) 
(f(x) and g(x)) and (f(x) and h(x))

Lo sé por asociatividad, f(x) and (g(x) and h(x)) es igual a (f(x) and g(x)) and h(x) . También estoy pensando en utilizar las leyes distributivas para demostrarlo, pero éstas establecen que A (B C) = (A B) (A C) o A (B C) = (A B) (A C) (la ley utiliza una unión e intersección, en lugar de dos intersecciones).

Cualquier ayuda para orientarme sería muy apreciada.

Answer 1

Para X(x), simplemente escribo X.

Axioma 1: ∧(X, Y)=∧(Y, X). (conmutatividad)

Axioma 2: ∧(X, ∧(Y, Z))=∧(∧(X, Y), Z). (asociatividad)

Axioma 3: ∧(X, X)=X. (idempotencia).

Un conjunto con una operación binaria "∧" con los axiomas anteriores como axiomas o teoremas forma un semigrupo conmutativo idempotente. Dejaré de lado los paréntesis en lo que sigue:

1. ∧F∧GH=∧F∧GH (axioma de "x=x" para la igualdad).

2. ∧F∧GH=∧∧FF∧GH idempotencia en 1.

3. ∧F∧GH=∧F∧F∧GH asociatividad en 2.

4. ∧F∧GH=∧F∧∧FGH asociatividad en 3.

5. ∧F∧GH=∧F∧∧GFH conmutatividad en 4.

6. ∧F∧GH=∧F∧G∧FH asociatividad en 5.

7. ∧F∧GH=∧∧FG∧FH asociatividad en 6.

Por lo tanto, ∧ distribuye sobre sí mismo. Dado que $\lor$ satisface la conmutación y la asociación y también la idempotencia, $\lor$ distribuye sobre sí mismo.