Pregunta sobre la función continua que cambia de signo un número infinito de veces en un intervalo.

Question

La función $g$ es continua sobre $[a,b]$ . Yo defino un "punto problemático" $x$ de la siguiente manera: $\forall \delta>0$ el intervalo $[x-\delta,x+\delta]$ contiene los dos puntos en los que $g$ es negativo y los puntos donde $g$ es positivo, así como los puntos $y \neq x$ para lo cual $g(y)=0$ . Por ejemplo, $x=0$ es un "punto conflictivo" para $g(x)=x\sin(\frac 1 x)$ . $a$ y $b$ se consideran "puntos problemáticos" si se aplica la misma regla para $[a,a+\delta]$ y $[b-\delta,b]$ respectivamente.

Mi pregunta es, si $g$ cambia de signo un número infinito de veces en $[a,b]$ ¿puede haber un número infinito de "puntos problemáticos" en $[a,b]$ ¿o debe haber un número finito?

Answer 1

Pista: el conjunto de puntos conflictivos no puede ser denso (¿ves por qué?). Sin embargo, si se toma un subconjunto infinito discreto de $[0, 1]$ decir, $X = \{1, 1/2 , 1/3, 1/4, \ldots\}$ se puede construir una función continua $f$ que cambia de signo infinitamente a menudo cerca de cada $y \in X$ (modelado en el $x \sin(x)$ patrón ajustado y escalado para ser $0$ por puntos $x$ que no están cerca $y$ ).