¿Por qué la gente se "olvidan" Verdier abelianization functor?(En busca de la aplicación)

Question

Ahora estoy aprendiendo la teoría de la localización de nidos categoría(en realidad, más general (co)suspender categoría) en una conferencia del curso. He encontrado Verdier abelianization que es el equivalente universal cohomological functor) es muy potente y útil formalismo. El profesor asignado muchos problemas relacionados con la propiedad de la localización functor en nidos categoría.Se sugiere fuertemente con nosotros mediante abelianization functor para hacer estos problemas

Si hacemos estos problemas en los nidos de la categoría, tenemos que trabajar con varios axiomas TRI para TRIV que no son muy fáciles de tratar. Pero si usamos Verdier abelianization functor, podemos convertir toda la historia a la abelian configuración. Trianguladas categoría puede ser incorporado para Frobenius abelian categoría(projectives y injectives coinciden). Trianguladas functors convertido en functor exacto entre abelian categorías. A continuación, podemos trabajar en abelian categoría. Entonces podemos volver(porque los objetos en nidos categoría son sólo projectives en Frobenius abelian categoría, podemos utilizar la restricción functor). De esta manera, es mucho más fácil de probar algo de Verider hizo en su libro.

Mi pregunta es:

1. Lo que me sorprendió es que Verdier mismo, incluso no hizo uso de Abelianization en su libro para demostrar algo. No sé por qué?(Tal vez me pierda de algo)

2. Me pregunto si hay alguna aplicación no trivial de Verdier abelianization functor en la geometría algebraica o de otros campos?

Gracias

Answer 1

El problema con respecto a las aplicaciones de la abelianization es que el abelian categorías uno produce son casi uniformemente horrible. Más precisamente, son demasiado grandes para lidiar con el. Por lo que su uso para producir resultados que no son declaraciones formales sobre alguna clase de categorías trianguladas parece que sería muy difícil.

Como el hormigón(ish) ejemplo supongamos que $R$ es un discreto anillo de valoración y deje $D(R)$ ser sin límites derivados de la categoría de $R$-módulos. A continuación, el abelianization $A(D(R))$ no está bien copowered - la imagen de la paja, la compleja $R$ en grado cero en $A(D(R))$ tiene una clase adecuada de cociente de los objetos (la referencia de esta es el Apéndice C de Neeman del libro Trianguladas Categorías). Ya que en este caso $R$-Mod es hereditaria derivada de la categoría es realmente bastante buena, entendemos que los pactos $D^b(R-mod)$ muy bien y todos sabemos de la localización y rompiendo las subcategorías de $D(R)$. Incluso viene con un natural producto tensor lo que es rígidamente generado de forma compacta y tiene una dirección general de mejora. Por otro lado, la abelianization es una especie de loco.

Uno puede tomar aproximaciones de la abelianization por abelian categorías que son más manejable. Sin embargo, todavía no sé de ningún tipo específico de aplicaciones que no son sólo sombras de los hechos que funciona para todos lo suficientemente agradable categorías trianguladas.

Answer 2

Hay una prueba de Brown de representatividad mediante la abelianisation. Uno puede identificar la abelianisation con la categoría de coherente functors (en el sentido de M. Auslander). Es una divertida hecho de que Auslander y Brown fueron los dos compañeros en Brandeis en la década de 1960, y que probablemente no sabe acerca de la estrecha relación de su trabajo.