¿Es un colector de dimensiones infinitas?

Question

En primer lugar, para contextualizar la pregunta: He estado leyendo algunos artículos de Física, y esos artículos implican sin pruebas que un espacio es un colector dimensional infinito. Uno de esos artículos es este y el espacio del que hablo es el "espacio de las formas" del que habla el artículo.

El conjunto en cuestión es el conjunto $Q$ de parametrizaciones de superficies lisas en $\mathbb{R}^3$ es decir, las funciones lisas inyectivas $S: U\subset \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^3$ .

Ahora bien, no quiero aceptar por fe que se trata de un colector de dimensión infinita, pero aunque he estudiado análisis de colectores era sólo de dimensión finita, y realmente no sé ni por dónde empezar a abordar esto. Ni siquiera sé qué topología natural podría darse a este conjunto.

También he oído que hay varios tipos de colectores de dimensión infinita, así que no sé de qué tipo estamos tratando aquí.

Entonces, ¿es posible dar a este conjunto una estructura natural de colector de dimensión infinita? Si es así, ¿cómo se puede hacer?

Answer 1

Primero, una aclaración.

Dejemos que $S\subset\mathbb{R}^3$ sea un submanifold compacto bidimensional. El "espacio de formas" correspondiente a $S$ Según el artículo que has enlazado, es el conjunto $\mathscr{S}$ de $\mathbb{R}^3$ -valorado $C^1$ funciones en $S$ que son inyectivas y no degeneradas (en el sentido de que la diferencial tiene rango completo). En notación, $\mathscr{S}$ consiste en $f:S\to \mathbb{R}^3$ , inyectiva, de clase $C^1$ y $\mathrm{d}f$ tiene el rango 2.

Para ver su estructura de colector, primero hay que observar que el espacio $C^1(S:\mathbb{R}^3)$ de la variable continuamente diferenciable $\mathbb{R}^3$ -funciones valoradas en $S$ es naturalmente un espacio de Banach.

El hecho de que $\mathscr{S}$ es una variedad de Banach se deduce del hecho de que es un subconjunto abierto de $C^1(S:\mathbb{R}^3)$ : observa simplemente que dado $f\in \mathscr{S}$ para cualquier $g\in C^1(S:\mathbb{R}^3)$ puedes encontrar algunos $\epsilon >0$ (aquí utilizamos la compacidad de $S$ ) tal que para todo $\delta < \epsilon$ la función $f \pm \delta g \in \mathscr{S}$ .

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En el caso de que $S$ no es compacto hay que tener un poco más de cuidado; el espacio $C^1(S:\mathbb{R}^3)$ ya no es de Banach, sino de Frechet. Pero si se consideran las perturbaciones con soporte compacto, se ve de nuevo, de forma más o menos análoga a la anterior, que la correspondiente $\mathscr{S}$ es un subconjunto abierto y, por lo tanto, una variedad de Frechet.